Question

19．如圖是裝有三個小輪的手拉車在“爬”樓梯時的側(cè)面示意圖，定長的輪架桿OA，OB，OC抽象為線段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折線NG-GH-HE-EF表示樓梯，CH，EF是水平線，NG，HE是鉛垂線，半徑相等的小輪子⊙A，⊙B與樓梯兩邊相切，且AO∥GH．
（1）如圖①，若點H在線段OB上，則$\frac{BH}{OH}$的值是$\sqrt{3}$．
（2）如果一級樓梯的高度$HE=（{8\sqrt{3}+2}）cm$，點H到線段OB的距離d滿足條件d≤3cm，那么小輪子半徑r的取值范圍是（11-3$\sqrt{3}$）cm≤r≤8cm．

Answer 1

分析 （1）如圖①，P為⊙B的切點，連接BP并延長，作OL⊥BP于點L，交GH于點M，求出ML，OM，根據(jù)$\frac{BH}{OH}$=$\frac{ML}{OM}$求解；
（2）如圖②，作HD⊥OB，P為切點，連接BP，PH的延長線交BD延長線于點L，由△LDH∽△LPB，得出$\frac{DL}{PL}$=$\frac{DH}{PB}$，再根據(jù)30°的直角三角形得出線段的關(guān)系，得到DH和r的關(guān)系式，根據(jù)0≤d≤3的限制條件，列不等式組求范圍．

解答 解：（1）如圖①，P為⊙B的切點，連接BP并延長，作OL⊥BP于點L，交GH于點M，
∴∠BPH=∠BLO=90°，
∵AO∥GH，
∴BL∥AO∥GH，
∵∠AOB=120°，
∴∠OBL=60°，
在RT△BPH中，HP=$\sqrt{3}$BP=$\sqrt{3}$r，
∴ML=HP=$\sqrt{3}$r，
OM=r，
∵BL∥GH，
∴$\frac{BH}{OH}$=$\frac{ML}{OM}$=$\frac{\sqrt{3}r}{r}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

（2）如圖②，作HD⊥OB，P為切點，連接BP，PH的延長線交BD延長線于點L，
∴∠LDH=∠LPB=90°，
∴△LDH∽△LPB，
∴$\frac{DL}{PL}$=$\frac{DH}{PB}$，
∵AO∥PB，∠AOD=120°，
∴∠B=60°，
∴∠BLP=30°，
∴DL=$\sqrt{3}$DH，LH=2DH，
∵HE=（8$\sqrt{3}$+2）cm
∴HP=8$\sqrt{3}$+2-r，
PL=HP+LH=8$\sqrt{3}$+2-r+2DH，
∴$\frac{\sqrt{3}DH}{2DH+8\sqrt{3}+2-r}$=$\frac{DH}{r}$，解得DH=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$r-4$\sqrt{3}$-1，
∵0cm≤DH≤3cm，
∴0≤$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$r-4$\sqrt{3}$-1≤3，
解得：（11-3$\sqrt{3}$）cm≤r≤8cm．
故答案為：（11-3$\sqrt{3}$）cm≤r≤8cm．

點評 本題主要考查了圓的綜合應用，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，運用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出線段的關(guān)系，同時涉及切線的性質(zhì)，平行線分線段成比例的性質(zhì)的知識點，綜合性較強，難度較大．