如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,0),直線(xiàn)與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4),B點(diǎn)在軸上.(1)求的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式;(2)P為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過(guò)P作軸的垂線(xiàn)與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E點(diǎn),設(shè)線(xiàn)段PE的長(zhǎng)為,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍;(3)D為直線(xiàn)AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn),在線(xiàn)段AB上是否存在一點(diǎn)P,使得四邊形DCEP是平行四形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1) ∵ 點(diǎn)A(3,4)在直線(xiàn)y=x+m上,∴ 4=3+m. ∴ m=1.
設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x-1)2. ∵ 點(diǎn)A(3,4)在二次函數(shù)y=a(x-1)2的圖象上, ∴ 4=a(3-1)2, ∴ a=1.
∴ 所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1.
(2) 設(shè)P、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為yP和yE .∴ PE=h=yP-yE =(x+1)-(x2-2x+1) =-x2+3x.
即h=-x2+3x (0<x<3).
(3) 存在.要使四邊形DCEP是平行四邊形,必需有PE=DC. ∵ 點(diǎn)D在直線(xiàn)y=x+1上,
∴ 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2),∴ -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 .
解之,得 x1=2,x2=1 (不合題意,舍去)
∴ 當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)時(shí),四邊形DCEP是平行四邊形.
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