Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F．求證：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

Answer 1

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】證明題．

【分析】（1）根據(jù)AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB=BF即可．

【解答】證明：（1）∵AD∥BC（已知），

∴∠ADC=∠ECF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∵E是CD的中點(diǎn)（已知），

∴DE=EC（中點(diǎn)的定義）．

∵在△ADE與△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA），

∴FC=AD（全等三角形的性質(zhì)）．

（2）∵△ADE≌△FCE，

∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等），

∴BE是線段AF的垂直平分線，

∴AB=BF=BC+CF，

∵AD=CF（已證），

∴AB=BC+AD（等量代換）．

【點(diǎn)評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．