Question

【題目】如圖①，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿A﹣D﹣A連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)．E、G兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)G到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E也隨之停止．過(guò)點(diǎn)G作FG⊥AB交AC于點(diǎn)F，以FG為一直角邊向右作等腰直角三角形FGH，使∠FGH＝90°．設(shè)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△FGH與正方形ABCD重疊部分圖形的周長(zhǎng)為l．

（1）當(dāng)t＝1時(shí)，l＝　 　．

（2）當(dāng)t＝3時(shí)，求l的值．

（3）設(shè)DE＝y，在圖②的坐標(biāo)系中，畫出y與t的函數(shù)圖象．

（4）當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）2+；（2）6+；（3）見(jiàn)解析；（4）t＝或t＝4

【解析】

（1）根據(jù)正方形和等腰三角形的性質(zhì)得出AG=FG=GH=t，t=1時(shí)，重疊部分周長(zhǎng)=FG+GH+FH，據(jù)此可得；
（2）由（1）知AG=FG=GH=3，根據(jù)AB=4得GB=1、BH=BP=2，由重疊部分的周長(zhǎng)=FG+GB+PB+PF可得答案；
（3）分點(diǎn)E從A到D和點(diǎn)E從點(diǎn)D返回點(diǎn)A兩種情況，分別求解得出解析式，繼而畫出函數(shù)圖象即可；
（4）由FG∥DE知，若四邊形DEGF是平行四邊形，則DE=FG，據(jù)此根據(jù)DE的解析式分別求解可得．

（1）∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，
∴AB=AD=4、∠CAB=45°，
∵△FGH是等腰直角三角形，
∴∠FGH=90°、FG=GH、∠GFH=∠GHF=45°，
則AG=FG=GH=t，
當(dāng)t=1時(shí)，如圖1，

重疊部分面積周長(zhǎng)=FG+GH+FH=1+1+=2+．
故答案為：2+．
（2）當(dāng)t=3時(shí)，如圖2，

由（1）知AG=FG=GH=3，
∵AB=4，
∴GB=AB-AG=1、BH=GH-GB=2，PF=，
∵∠PBH=90°、∠H=45°，
∴BH=BP=2，
則重疊部分周長(zhǎng)=FG+PB+GB+PF=3+1+2+=6+．
（3）由題意知點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為2t，
如圖1，點(diǎn)E從A到D時(shí)，即0≤t≤2，DE=AD-AE=4-2t，即y=4-2t；
如圖2，點(diǎn)E從點(diǎn)D返回點(diǎn)A時(shí)，即2＜t≤4，DE=2t-4，即y=2t-4；
y與t的函數(shù)圖象如圖3所示：

（4）∵∠DAB=∠FGH=90°，
∴FG∥AD，即FG∥DE，
若四邊形DEGF是平行四邊形，則DE=FG，
當(dāng)0≤t≤2時(shí)，4-2t=t，
解得：t=；
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，2t-4=t，
解得：t=4；
綜上所述，當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形時(shí)，t=或t=4．