Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）E為拋物線上一動點，是否存在點E，使以A、B、E為頂點的三角形與△COB相似？若存在，試求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若將直線BC平移，使其經過點A，且與拋物線相交于點D，連接BD，試求出∠BDA的度數．

　

　

Answer 1

【考點】二次函數綜合題；一次函數的應用；勾股定理的應用；等腰直角三角形；矩形的性質；相似三角形的應用．

【專題】代數幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）本題需先根據已知條件，過C點，設出該拋物線的解析式為y=ax²+bx+2，再根據過A，B兩點，即可得出結果；

（2）由圖象可知，以A、B為直角頂點的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點E為直角頂點的三角形．由相似關系求出點E的坐標；

（3）如圖2，連結AC，作DE⊥x軸于點E，作BF⊥AD于點F，由BC∥AD設BC的解析式為y=kx+b，設AD的解析式為y=kx+n，由待定系數法求出一次函數的解析式，就可以求出點D坐標，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行線的性質就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四邊形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出結論．

【解答】解：（1）∵該拋物線過點C（0，2），

∴可設該拋物線的解析式為y=ax²+bx+2．

將A（﹣1，0），B（4，0）代入，

得，

解得，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+2．

 

（2）存在．

由圖象可知，以A、B為直角頂點的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點E為直角頂點的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，

∴BC==．

在Rt△BOC中，設BC邊上的高為h，則×h=×2×4，

∴h=．

∵△BEA∽△COB，設E點坐標為（x，y），

∴=，

∴y=±2

將y=2代入拋物線y=﹣x²+x+2，

得x₁=0，x₂=3．

當y=﹣2時，不合題意舍去．

∴E點坐標為（0，2），（3，2）．

 

（3）如圖2，連結AC，作DE⊥x軸于點E，作BF⊥AD于點F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．

設BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，

∴，

y_BC=﹣x+2．

由BC∥AD，設AD的解析式為y=﹣x+n，由圖象，得

0=﹣×（﹣1）+n

∴n=﹣，

y_AD=﹣x﹣．

∴﹣x²+x+2=﹣x﹣，

解得：x₁=﹣1，x₂=5

∴D（﹣1，0）與A重合，舍去；

∴D（5，﹣3）．

∵DE⊥x軸，

∴DE=3，OE=5．

由勾股定理，得BD=．

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴OA=1，OB=4，OC=2．

∴AB=5

在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得

AC=，BC=2，

∴AC²=5，BC²=20，AB²=25，

∴AC²+BC²=AB²

∴△ACB是直角三角形，

∴∠ACB=90°．

∵BC∥AD，

∴∠CAF+∠ACB=180°，

∴∠CAF=90°．

∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，

∴四邊形ACBF是矩形，

∴AC=BF=，

在Rt△BFD中，由勾股定理，

得DF=，

∴DF=BF，

∴∠ADB=45°．

【點評】本題考查了運用待定系數法求二次函數解析式和一次函數的解析式的運用，相似三角形的性質的運用，勾股定理的運用，矩形的判定及性質的運用，等腰直角三角形的性質的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．