Question

【題目】已知點(diǎn)P是線段MN上一動(dòng)點(diǎn)，分別以PM，PN為一邊，在MN的同側(cè)作△APM，△BPN，并連接BM，AN．

（Ⅰ）如圖1，當(dāng)PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°時(shí)，試猜想BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想；

（Ⅱ）如圖2，當(dāng)△APM，△BPN都是等邊三角形時(shí)，（Ⅰ）中BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，試說(shuō)明理由．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，連接AB得到圖3，當(dāng)PN＝2PM時(shí)，求∠PAB度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）結(jié)論成立.（3）90°．

【解析】

(1)根據(jù)已知條件可證△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延長(zhǎng)MB交AN于點(diǎn)C，得出,因此有BM⊥AN；

(2)根據(jù)所給條件可證△MPB≌△APN，得出結(jié)論BM＝AN；

(3) 取PB的中點(diǎn)C，連接AC，AB，通過(guò)已知條件推出△APC為等邊三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，進(jìn)一步得出∠PAB的度數(shù).

解：（Ⅰ）結(jié)論：BM＝AN，BM⊥AN．

理由：如圖1中，

∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，

∴△MBP≌△ANP（SAS），

∴MB＝AN．

延長(zhǎng)MB交AN于點(diǎn)C．

∵△MBP≌△ANP，

∴∠PAN＝∠PMB，

∵∠PAN+∠PNA＝90°，

∴∠PMB+∠PNA＝90°，

∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，

∴BM⊥AN．

（Ⅱ）結(jié)論成立

理由：如圖2中，

∵△APM，△BPN，都是等邊三角形

∴∠APM＝∠BPN＝60°

∴∠MPB＝∠APN＝120°，

又∵PM＝PA，PB＝PN，

∴△MPB≌△APN（SAS）

∴MB＝AN．

（Ⅲ）如圖3中，取PB的中點(diǎn)C，連接AC，AB．

∵△APM，△PBN都是等邊三角形

∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN

∵點(diǎn)C是PB的中點(diǎn)，且PN＝2PM，

∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，

∵∠APC＝60°，

∴△APC為等邊三角形，

∴∠PAC＝∠PCA＝60°，

又∵CA＝CB，

∴∠CAB＝∠ABC＝30°，

∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．