Question

19．已知：關(guān)于x的方程x²+kx-2=0，
（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）設(shè)x₁，x₂是方程的兩根，且滿足（x₁-1）（x₂-1）=k²-k，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)跟的判別式△=b²-4ac來確定方程的根的情況；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=-$\frac{a}$、x₁x₂=$\frac{c}{a}$，代入得出關(guān)于k的方程，解方程來求k的值．

解答 解：（1）△=k²-4×1×（-2）=k²+8，
∵k²≥0，
∴k²+8＞0，即△＞0，
∴無論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）∵設(shè)x₁，x₂是方程x²+kx-2=0的兩根，
∴x₁+x₂=-k，x₁x₂=-2，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-2+k+1=k²-k
解得：k₁=k₂=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．以及根與系數(shù)的關(guān)系．