Question

14．函數(shù)y=$\frac{4}{x}$和y=$\frac{1}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P是y=$\frac{4}{x}$的圖象上一動點，作PC⊥x軸于點C，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點A，作PD⊥y軸于點D，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點B，給出如下結論：①△ODB與△OCA的面積相等；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積大小不會發(fā)生變化；④PA=3AC，其中正確的結論序號是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 設點P的坐標為（m，$\frac{4}{m}$）（m＞0），則A（m，$\frac{1}{m}$），C（m，0），B（$\frac{m}{4}$，$\frac{4}{m}$），D（0，$\frac{4}{m}$）．①根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出S_△ODB=S_△OCA，該結論正確；②由點的坐標可找出PA=$\frac{3}{m}$，PB=$\frac{3m}{4}$，由此可得出只有m=2是PA=PB，該結論不成；③利用分割圖形法求圖形面積結合反比例系數(shù)k的幾何意義即可得知該結論成立；④結合點的坐標即可找出PA=$\frac{3}{m}$，AC=$\frac{1}{m}$，由此可得出該結論成立．綜上即可得出正確的結論為①③④．

解答 解：設點P的坐標為（m，$\frac{4}{m}$）（m＞0），則A（m，$\frac{1}{m}$），C（m，0），B（$\frac{m}{4}$，$\frac{4}{m}$），D（0，$\frac{4}{m}$）．
①S_△ODB=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，S_△OCA=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
∴△ODB與△OCA的面積相等，①成立；
②PA=$\frac{4}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{3}{m}$，PB=m-$\frac{m}{4}$=$\frac{3m}{4}$，
令PA=PB，即$\frac{3}{m}$=$\frac{3m}{4}$，
解得：m=2．
∴當m=2時，PA=PB，②不正確；
③S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△ODB-S_△OCA=4-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=3．
∴四邊形PAOB的面積大小不會發(fā)生變化，③正確；
④∵PA=$\frac{4}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{3}{m}$，AC=$\frac{1}{m}$-0=$\frac{1}{m}$，
∵$\frac{3}{m}$=3×$\frac{1}{m}$，
∴PA=3AC，④正確．
綜上可知：正確的結論有①③④．
故選C．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及利用分割圖形法求圖形面積，解題的關鍵是找出各點坐標再結合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義逐項分析各結論是否正確．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征表示出各點的坐標是關鍵．