Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，∠1=∠C．
（1）求證：CB∥PD；
（2）若BC=6，sin∠P=$\frac{2}{5}$，求AB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠1=∠C及圓周角定理可得出∠1=∠P，由此可得出結(jié)論；
（2）連接AC，根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，再由垂徑定理得出$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，故可得出∠P=∠CAB，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠1=∠C，∠C=∠P，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD．

（2）解：連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵CD⊥AB，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠P=∠CAB，
∴sin∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{5}$．
∵BC=6，
∴AB=15．

點評 本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解答此題的關(guān)鍵．