Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C，連接BC．將直線l沿著x軸正方向平移m個(gè)單位（0＜m＜10）得到直線l′，l′交x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F．

（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，將△EDB沿直線l′翻折得到△EDB′，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)B′落在直線AC上時(shí)，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過解方程，-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6=0可得A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理求得BC=10，即可證得AB=BC，根據(jù)AC∥FD，得出$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{BA}$，求得BE=BD，即可證得四邊形EB′DB是菱形，得出B′D∥BC，然后過點(diǎn)B′作B′H⊥AB與H，證得△B′HD∽△COB，即可求得B′H=-$\frac{3}{5}$m+6，HD=-$\frac{4}{5}$m+8，進(jìn)一步求得OH，得出B′的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BM=B′M，由平移的定義可知DE∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例定理證得BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=5，求得D的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求得AC的解析式，進(jìn)而求得DF的解析式，然后聯(lián)立方程，即可求得F的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將y=0代入y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6得，-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6=0，
解得x₁=-2，x₂=8，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）；
將x=0代入y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6得y=6，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）；
（2）在RT△COB中，由勾股定理得BC=$\sqrt{B{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵AB=AO+OB=2+8=10，
∴AB=BC，
∵AD=m，
∴DB=AB-AD=10-m，
∵AC∥FD，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{BA}$，
∴BE=BD=B′E=B′D=10-m，
∴四邊形EB′DB是菱形，
∴B′D∥BC，
過點(diǎn)B′作B′H⊥AB與H，
∴∠B′DH=∠CBO，∠B′HD=∠COB=90°，
∴△B′HD∽△COB，
∴$\frac{B′H}{CO}$=$\frac{HD}{OB}$=$\frac{B′D}{CB}$，即$\frac{B′H}{6}$=$\frac{HD}{8}$=$\frac{10-m}{10}$，
∴B′H=-$\frac{3}{5}$m+6，HD=-$\frac{4}{5}$m+8，
當(dāng)點(diǎn)B′在y軸的右側(cè)時(shí)，OH=OB-HD-DB=8-（-$\frac{4}{5}$m+8）-（10-m）=$\frac{9}{5}$m-10，
當(dāng)點(diǎn)B′在y軸的左側(cè)時(shí)，OH=HD+DB-OB=（-$\frac{4}{5}$m+8）+（10-m）-8=10-$\frac{9}{5}$m，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（$\frac{9}{5}$m-10，-$\frac{3}{5}$m+6）；
（3）∵四邊形EB′DB是菱形，
∴BM=B′M，
由平移的定義可知DE∥AC，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BM}{B′M}$=1，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵OA=2，
∴OD=3，
∴D的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
代入A（-2，0），C（0，6）得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∵DF∥AC，
設(shè)直線DF的解析式為y=3x+b，
代入D（3，0）得9+b=0，
解得b=-9，
∴直線DF為y=3x-9，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-9}\\{y=-{\frac{3}{8}x}^{2}+\frac{9}{4}x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{41}}\\{y=3\sqrt{41}-12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\sqrt{41}}\\{y=-12-3\sqrt{41}}\end{array}\right.$，
∴F的坐標(biāo)為（$\sqrt{41}$-1，3$\sqrt{41}$-12）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，三角形相似的判斷和性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等，利用三角形相似求解是關(guān)鍵．