Question

7．如圖1，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；
（2）如圖2，連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P位線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)；并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？
（3）如圖3，連接AC，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)解方程-x²+2x+3=0可得A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用對(duì)稱性可確定拋物線的對(duì)稱軸；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3，再確定E（1，2），D（1，4），表示出P（m，-m+3），F(xiàn)（m，-m²+2m+3），接著計(jì)算出DE=2，PF=-m²+3m，然后利用平行四邊形的判定方法得到-m²+3m=2，再解方程求出m即可．
（3）分三種情況：QA=QC；CA=CQ；AC=AQ；進(jìn)行討論即可求解．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²+2x+3=3，則C（0，3）；
拋物線的對(duì)稱軸是直線x=$\frac{-1+3}{2}$=1；
（2）設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=3，
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3，
∵對(duì)稱軸是直線x=1，
∴E（1，2），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），
當(dāng)x=m 時(shí)，y=-m+3，
∴P（m，-m+3），F(xiàn)（m，-m²+2m+3），
∴線段DE=4-2=2，線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m；
∵PF∥DE，
∴當(dāng)PF=ED時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形，即-m²+3m=2，解得m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去），
∴當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．
（3）設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q（x，0），使△ACQ為等腰三角形．分三種情況：
①如果QA=QC，那么（x+1）²=x²+3²，
解得x=4，
則點(diǎn)Q₁（4，0）；
②如果CA=CQ，那么1²+3²=x²+3²，
解得x₁=1，x₂=-1（不合題意舍去），
則點(diǎn)Q₂（1，0）；
③如果AC=AQ，那么1²+3²=（x+1）²，
解得x₁=$\sqrt{10}$-1，x₂=-$\sqrt{10}$-1，
則點(diǎn)Q₃（$\sqrt{10}$-1，0），Q₄（-$\sqrt{10}$-1，0）；
綜上所述存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形．它的坐標(biāo)為：Q₁（4，0），Q₂（1，0），Q₃（$\sqrt{10}$-1，0），Q₄（-$\sqrt{10}$-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，平行四邊形的判定，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（3）小題用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．．