Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，點(diǎn)P在邊AB上．
（1）判斷四邊形ABCD的形狀并加以證明；
（2）若AB=AD，以過點(diǎn)P的直線為軸，將四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)B′、C′上，且B′C′經(jīng)過點(diǎn)D，折痕與四邊形的另一交點(diǎn)為Q．
①在圖2中作出四邊形PB′C′Q（保留作圖痕跡，不必說明作法和理由）；
②如果∠C=60°，那么$\frac{AP}{PB}$為何值時，B′P⊥AB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判斷；
（2）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行作圖即可；②先根據(jù)折疊得出一些對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，并推導(dǎo)出B′D=B′E，再設(shè)AP=a，BP=b，利用解直角三角形將DQ和CQ長用含a的代數(shù)式表示出來，最后根據(jù)CD=DQ+CQ列出關(guān)于a、b的關(guān)系式，求得a、b的比值即可．

解答 解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形
證明：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）①四邊形PB′C′Q如下：

②當(dāng)AB=AD時，平行四邊形ABCD是菱形，
由折疊可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，
當(dāng)B′P⊥AB時，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，
設(shè)AD與B'P交于點(diǎn)E，
∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°=∠B′DE，
∴B′D=B′E，
設(shè)AP=a，BP=b，則直角三角形APE中，PE=$\sqrt{3}$a，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，
∴B′E=b-$\sqrt{3}$a=B′D，
∴C′D=a+b-（b-$\sqrt{3}$a）=a+$\sqrt{3}$a，
∴直角三角形C′QD中，C′Q=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a=CQ，DQ=$\sqrt{3}$C′Q=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$a，
∵CD=DQ+CQ=a+b，
∴$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$a+$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a=a+b，
整理得（$\sqrt{3}$+1）a=b，
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，即$\frac{AP}{PB}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了平行四邊形以及菱形，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定以及菱形的判定與性質(zhì)．在解題時注意，菱形的四條邊都相等，此外在折疊問題中，需要抓住對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等這些等量關(guān)系，折疊問題的實(shí)質(zhì)是軸對稱的性質(zhì)．