【題目】已知平行四邊形ABCD中,如圖,對角線AC和BD相交于點O,AC=10,BD=8.
(1)若AC⊥BD,試求四邊形ABCD的面積;
(2)若AC與BD的夾角∠AOD=60°,求四邊形ABCD的面積.
【答案】(1)S菱形ABCD=40;(2)S四ABCD=20
【解析】
(1)先證平行四邊形ABCD是菱形,根據菱形的面積公式即可求解;
(2)過點A分別作AE⊥BD,垂足為E,根據三角函數(shù)即可求得AE的長,從而求得△OAD的面積,四邊形ABCD的面積是三角形OAD的面積的4倍,據此即可求解.
解:(1)∵AC⊥BD,
∴平行四邊形ABCD為菱形,
∴S菱形ABCD=AC×BD=40;
(2)過點A分別作AE⊥BD,垂足為E,
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AO=CO=AC=5,BO=DO=BD=4,
在Rt△AOE中,sin∠AOE=,
∴AE=AOsin∠AOE=AO×sin60°=,
∴S四ABCD=ODAE×4=×4××4=20.
故答案為:(1)S菱形ABCD=40;(2)S四ABCD=20 .
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【題目】隨著北京申辦冬奧會的成功,愈來愈多的同學開始關注我國的冰雪體育項目. 小健從新聞中了解到:在2018年平昌冬奧會的短道速滑男子500米決賽中,中國選手武大靖以39秒584的成績打破世界紀錄,收獲中國男子短道速滑隊在冬奧會上的首枚金牌. 同年11月12日,武大靖又以39秒505的成績再破世界紀錄. 于是小健對同學們說:“2022年北京冬奧會上武大靖再獲金牌的可能性大小是.”你認為小健的說法_________(填“合理”或“不合理”),理由是__________________________.
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【題目】閱讀材料:求31+32+33+34+35+36的值
解:設S=31+32+33+34+35+36①
則3S=32+33+34+35+36+37②
用②﹣①得,3S﹣S=(32+33+34+35+36+37)﹣(31+32+33+34+35+36)=37﹣3
∴2S=37﹣3,即S=,∴31+32+33+34+35+36=
以上方法我們成為“錯位相減法”,請利用上述材料,解決下列問題:
(一)棋盤擺米
這是一個很著名的故事:阿基米德與國王下棋,國王輸了,國王問阿基米德要什么獎賞?阿基米德對國王說:“我只要在棋盤上第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒…按這個方法放滿整個棋盤就行”國王以為要不了多少糧食,就隨口答應了,結果國王輸了
(1)國際象棋共有64個格子,則在第64格中應放 粒米(用冪表示)
(2)設國王輸給阿基米德的米粒數(shù)為S,求S
(二)拓廣應用:
1.計算:(仿照材料寫出求解過程)
2.計算:= (直接寫出結果)
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【題目】撫順某中學為了解八年級學生的體能狀況,從八年級學生中隨機抽取部分學生進行體能測試,測試結果分為A,B,C,D四個等級.請根據兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題:
(1)本次抽樣調查共抽取了多少名學生?
(2)求測試結果為C等級的學生數(shù),并補全條形圖;
(3)若該中學八年級共有700名學生,請你估計該中學八年級學生中體能測試結果為D等級的學生有多少名?
(4)若從體能為A等級的2名男生2名女生中隨機的抽取2名學生,做為該校培養(yǎng)運動員的重點對象,請用列表法或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點A(﹣3,0),對稱軸為直線x=﹣1,給出以下結論,①ab<0,②b2﹣4ac>0,③4b+c<0,④若B(﹣,y1)、C(﹣,y2)為函數(shù)圖象上的兩點,則y1>y2,⑤當﹣3≤x≤1時,y≥0,其中正確的結論是( 。
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)過點C的直線y=kx+b與這個二次函數(shù)的圖象相交于點E(4,m),請求出△CBE的面積S的值.
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【題目】某校開展了以“責任、感恩”為主題的班隊活動,活動結束后,初三(2)班數(shù)學興趣小組提出了5個主要觀點并在本班學生中進行了調查(要求每位同學只選自己最認可的一項觀點),并制成了如下扇形統(tǒng)計圖,
(1)該班有 人,學生選擇“和諧”觀點的有 人,在扇形統(tǒng)計圖中,“和諧”觀點所在扇形區(qū)域的圓心角是 度;
(2)如果該校有360名初三學生,利用樣本估計選擇“感恩”觀點的初三學生約有 人;
(3)如果數(shù)學興趣小組在這5個主要觀點中任選兩項觀點在全校學生中進行調查,求恰好選到“和諧”和“感恩”觀點的概率(用樹狀圖或列表法分析解答).
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【題目】如圖,直線與軸交于點,與軸交于點,拋物線經過點,.點為軸上一動點,過點且垂直于軸的直線分別交直線及拋物線于點,.
(1)填空:點的坐標為_________,拋物線的解析式為_________;
(2)當點在線段上運動時(不與點,重合),
①當為何值時,線段最大值,并求出的最大值;
②求出使為直角三角形時的值;
(3)若拋物線上有且只有三個點到直線的距離是,請直接寫出此時由點,,,構成的四邊形的面積.
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