Question

【題目】綜合與實踐

在數(shù)學(xué)活動課上，老師給出，，．點為的中點，點在射線上運動，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接，．過點作，交直線于點．

(1)若點在線段上，如圖1，

①根據(jù)題意補全圖1(不要求尺規(guī)作圖)；

②判斷與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

(2)若點為線段的延長線上一點，如圖2，且，，補全圖2，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②CF=FH，證明見解析；（2）

【解析】

(1)①依題意補全圖1；
②延長DF交AB于點G，根據(jù)三角形中位線的判定得出點G為AB的中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)及已知條件AC=BC，得出DC=DG，從而EC=FG，易證∠1=∠2=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由ASA證出△CEF≌△FGH，所以CF=FH；
(2)依題意補全圖3；通過證明△CEF≌△FGH(ASA)得出FC=FH，再求出FC的長，即可解答．

(1)①補全圖如圖1所示，

②FH與FC的數(shù)量關(guān)系是：FH=FC．
證明如下：

如圖2，延長DF交AB于點G，

由題意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵點D為AC的中點，
∴點G為AB的中點，且DC=AC，
∴DG為△ABC的中位線，
∴DG=BC．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF與△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
在△CEF和△FGH中，

∵，

∴△CEF≌△FGH(ASA)，
∴CF=FH；
(2)如圖3，

∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，

∴∠EDF=90°，ED=FD，

∴DF∥BC，
∴∠CBA=∠FGB=45°，∠DFC=∠FCB，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵點D為AC的中點，DF∥BC，
∴DG=BC，DC=AC，
∴DG=DC，
∴ED- DC =FD-DG，

∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，∠ECB=∠CFH=90，

∴∠DFC+∠CFH=∠FCB+∠ECB，
∴∠GFH=∠ECF，
在△FCE和△HFG中，

∵，
∴△FCE≌△HFG(ASA)，
∴HF=FC，
∵∠EDF=90°，DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵∠CFE=15°，
∴∠DFC=45°-15°=30°，
∴CF=2CD，DF=CD，
∵DE=DF，CE=．
∴+CD=CD，
解得：CD=，
∴CF=2CD=．
∵∠CFH=90°，
∴△FCH的面積為：．