Question

17．如圖1，已知直線AB，CD被直線AC，BD所截，連接AD，∠ACD=∠ABD=116°，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段CD上，且∠FAD=∠ADF，∠EAD=$\frac{1}{2}$∠CAB，AE平分∠CAF．

（1）求證：AB∥CD；
（2）如圖2，若將直線BD沿AB方向平移，當(dāng)∠CAE=∠CDA時(shí)，求∠EAF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）通過角的計(jì)算找出∠BAD=∠FAD，從而得出∠BAD=∠ADF，再根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)角與角之間的關(guān)系找出∠CAE=∠EAF=∠FAD=∠BAD，即∠EAF=$\frac{1}{4}$∠BAC，再根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”即可算出∠EAF的度數(shù)．

解答 解：（1）證明：∵∠EAD=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠BAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=∠EAD=∠FAD+∠EAD，
又∵AE平分∠CAF，
∴∠CAE=∠EAF，
∴∠BAD=∠FAD=∠ADF，
∴AB∥CD．
（2）∵AB∥CD，
∴∠CDA=∠BAD，∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠CAE=∠EAF，∠CAE=∠CDA，∠FAD=∠ADF，
∴∠CAE=∠EAF=∠FAD=∠BAD，
∴∠EAF=$\frac{1}{4}$∠BAC=$\frac{1}{4}$（180°-∠ACD）=16°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的判定與性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出∠BAD=∠ADF；（2）找出∠EAF=$\frac{1}{4}$∠BAC．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過角的計(jì)算找出相等的角，再由角相等找出直線平行是關(guān)鍵．