Question

【題目】若一個三位數(shù)滿足條件：其十位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍與個位數(shù)字的差，則稱這樣的三位數(shù)為“十全數(shù)”，將“十全數(shù)”s的百位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置，交換后所得的新數(shù)叫做s的“十美數(shù)”，如231是一個“十全數(shù)”，321是231的“十美數(shù)”

（1）證明：任意一個“十全數(shù)”s的“十美數(shù)”都能被3整除；

（2）已知m為“十全數(shù)”，n是m的“十美數(shù)”，若m的兩倍與n的差能被13整除，求m的值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）m為582或675或768.

【解析】

（1）首先應(yīng)根據(jù)題目中所給的“十全數(shù)”和“十美數(shù)”的概念，將他們數(shù)表示出來．要說明“十美數(shù)”都能被3整除，則只需要證明到“十美數(shù)”是3的倍數(shù)即可．

（2）首先應(yīng)根據(jù)題意表示出m、n，又因為m的兩倍與n的差能被13整除，所以m的兩倍與n的差必須是13的倍數(shù)．因此根據(jù)它們的范圍一一驗證即可求出最終m的值．

（1）設(shè)“十全數(shù)”s為100a+10×（2a﹣b）+b，∴s的“十美數(shù)”為100×（2a﹣b）+10a+b=210a﹣99b=3×（70a﹣33b），∴任意一個“十全數(shù)”s的“十美數(shù)”都能被3整除；

（2）設(shè)m為100x+10×（2x﹣y）+y，∴m的“十美數(shù)”為100×（2x﹣y）+10x+y=210x﹣99y，∴2[100x+10×（2x﹣y）+y]﹣[210x﹣99y]=30x+81y

∵m的兩倍與n的差能被13整除，∴2x+6y．

∵為整數(shù)，1≤x≤9，0≤y≤9，1≤2x﹣y≤9，∴x=1時，y=3，2x﹣y=﹣1（不合題意舍去），x=2時，y=6，2x﹣y=﹣2（不合題意舍去），x=3，4時，y的值不合題意，x=5時，y=2，2x﹣y=8，x=6時，y=5，2x﹣y=7，x=7時，y=8，2x﹣y=6，x=8、9時，y不合題意，∴m為582或675或768．