Question

4．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8$\sqrt{2}$cm，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C方向以$\sqrt{2}$cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（點(diǎn)M，C位于PQ異側(cè)）．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△PQM與△ADC重疊部分的面積為y（cm²）
（1）當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，x=4；
（2）當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，x=$\frac{16}{3}$；
（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，四邊形AMQP是正方形，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合，由此即可解決問題．
（2）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，作PE⊥QC于E，先證明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得$\frac{PA}{AC}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{2}{3}$，由此即可解決問題．
（3）分三種情形①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，如圖2中，設(shè)PM、PQ分別交AD于點(diǎn)E、F，則重疊部分為△PEF，②當(dāng)4＜x≤$\frac{16}{3}$時(shí)，如圖3中，設(shè)PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．③當(dāng)$\frac{16}{3}$＜x＜8時(shí)，如圖4中，則重合部分為△PMQ，分別計(jì)算即可解決問題．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，四邊形AMQP是正方形，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合，AP=CP=4$\sqrt{2}$，所以x=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=4．
故答案為4．
（2）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，作PE⊥QC于E．

∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC
∴DQ=QE=EC，
∵PE∥AD，
∴$\frac{PA}{AC}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{2}{3}$，∵AC=8$\sqrt{2}$，
∴PA=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
∴x=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$÷$\sqrt{2}$=$\frac{16}{3}$．
故答案為$\frac{16}{3}$．
（3）①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，如圖2中，設(shè)PM、PQ分別交AD于點(diǎn)E、F，則重疊部分為△PEF，

∵AP=$\sqrt{2}$x，
∴EF=PE=x，
∴y=S_△PEF=$\frac{1}{2}$•PE•EF=$\frac{1}{2}$x²．
②當(dāng)4＜x≤$\frac{16}{3}$時(shí)，如圖3中，設(shè)PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．

∵PQ=PC=8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x，
∴PM=16-2x，∴ME=PM-PE=16-3x，
∴y=S_△PMQ-S_△MEG=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x）²-$\frac{1}{2}$（16-3x）²=-$\frac{7}{2}$x²+32x-64．

③當(dāng)$\frac{16}{3}$＜x＜8時(shí)，如圖4中，則重合部分為△PMQ，
∴y=S_△PMQ=$\frac{1}{2}$PQ²=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x）²=x²-16x+64．
綜上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}}&{（0＜x≤4）}\\{-\frac{7}{2}{x}^{2}+32x-64}&{（4＜x≤\frac{16}{3}）}\\{{x}^{2}-16x+64}&{（\frac{16}{3}＜x＜8）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、分段函數(shù)、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖象，學(xué)會(huì)分類討論，屬于中考?jí)狠S題．