Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別相交于、兩點，點是的中點，點、分別為線段、上的動點，將沿折疊，使點的對稱點恰好落在線段上（不與端點重合）.連接分別交、于點、，連接.

（1）求的值；

（2）試判斷與的位置關系，并加以證明；

（3）若，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）點的坐標為.

【解析】

（1）結合A，B的坐標，在在中，即可求出的值；

（2）與的位置關系為，利用折疊的性質以及斜邊上的中線定理可證明，再利用相似三角形的性質進一步證明，結合三角形內角和定理即可證明結論；

（3）設，則，，用含t的式子表示出DN，再由，得出OD的值，最后利用勾股定理求解即可．

解：（1）由題意得：，．

在中，．

（2），理由如下：

由折疊的性質得：．

∵為斜邊上的中線，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，即，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

（3）∵

∴在中，，

設，則，，

當時，．

又∵，，

∴，

∴，

∴．

由得：，即，

∴．

在中，由勾股定理得：，

即，解得：，，

∴或0（不合題意，舍去），

∴點．

綜上所述，點的坐標為．