Question

6．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交與A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直線AD與y軸相交于點(diǎn)E．
（1）求直線AD的解析式；
（2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H，求△FGH的周長(zhǎng)的最大值；
（3）點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是AM為邊的矩形，若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱(chēng)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）首先證明△FHG是等腰直角三角形，構(gòu)建二次函數(shù)利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
（3）分兩種情形①如圖2中，若AP為對(duì)角線，利用相似三角形性質(zhì)求出點(diǎn)T坐標(biāo)．②如圖3中，若AQ為對(duì)角線，利用相似三角形性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+2x+3與x軸交與A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（3，0），點(diǎn)C坐標(biāo)（0，3），
∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸x=1，D、C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（2，3），設(shè)直線AD為y=kx+b．則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$；
∴直線AD解析式為：y=x+1．
（2）如圖1中，

∵OA=OE=1，
∴∠EAO=45°，
∵FH∥AB，
∴∠FHA=∠EAO=45°，
∵FG⊥AH，
∴△FGH是等腰直角三角形，
設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)（m，-m²+2m+3），
∴點(diǎn)H坐標(biāo)（-m²+2m+2，-m²+2m+3），
∴FH=-m²+m+2，
∴△FGH的周長(zhǎng)=（-m²+m+2）+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-m²+m+2）=-（1+$\sqrt{2}$）（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$
∴△FGH的周長(zhǎng)最大值為$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$．

（3）①如圖2中，若AP為對(duì)角線

作PS⊥對(duì)稱(chēng)軸于于S，對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為R，
∵∠PMS+∠MPS=90°，∠PMS+∠AMR=90°，
∴∠MPS=∠AMR，∵∠PSM=∠MRA，
∴△PMS∽△MAR可得$\frac{PS}{MR}$=$\frac{SM}{AR}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{SM}{2}$，
∴SM=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（0，$\frac{9}{2}$）
由點(diǎn)的平移可知Q（-2，$\frac{1}{2}$）
故Q點(diǎn)關(guān)于直線AM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)T為（0，-$\frac{1}{2}$）．
②如圖3中，若AQ為對(duì)角線，

作AR∥y軸，MR∥x軸，AS∥y軸，PS∥AB，
同理可證△ARM∽△PSA，
∴$\frac{AR}{PS}$=$\frac{RM}{AS}$，
∴AS=$\frac{1}{2}$
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（0，-$\frac{1}{2}$），
由點(diǎn)的平移可知Q（2，$\frac{7}{2}$），
故Q點(diǎn)關(guān)于直線AM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)T為（0，$\frac{9}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、平移、對(duì)稱(chēng)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線構(gòu)造相似三角形，屬于中考?jí)狠S題．