Question

15．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，點(diǎn)P是邊AB上的一個動點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PB的長為半徑畫弧，交射線BC于點(diǎn)D，射線PD交射線AC于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時，求PB的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上時，設(shè)PB=x，CE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）當(dāng)△PAD是直角三角形時，求PB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=$\frac{1}{2}$AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PCB=∠B=30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠PDB=∠B=30°，求得AE=AP，即可得到結(jié)論；
（3）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上時，求得∠PDA=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PD=$\frac{1}{2}$AP，解方程得到x=$\frac{4}{3}$；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AP=$\frac{1}{2}$PD．解方程得到x=$\frac{8}{3}$．

解答 解：（1）如圖1，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB，
∵AC=2，
∴AB=4，
∵以點(diǎn)P為圓心，PB的長為半徑畫弧，交射線BC于點(diǎn)D，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，
∴PD=PB，
∴∠PCB=∠B=30°，
∴∠APC=∠ACD=60°，
∴AP=AC=2，
∴BP=2；

（2）∵PD=PB，∠ABC=30°，
∴∠PDB=∠B=30°，
∴∠APE=60°，∠CDE=30°，
∵∠ACD=90°，
∴∠AEP=60°，
∴AE=AP，
∵PB=x，CE=y，
∴2+y=4-x，y=2-x．（0＜x＜2）；

（3）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上時，連接AD，
∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠PAD＜60°，
∴∠PDA=90°，
∴∠PAD=30°．
∴PD=$\frac{1}{2}$AP，
即x=$\frac{1}{2}$（4-x），
∴x=$\frac{4}{3}$；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上時，連接AD
∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠ADP＜60°，
∴∠PAD=90°，
∴∠PDA=30°．
∴AP=$\frac{1}{2}$PD．即4-x=$\frac{1}{2}$x，
∴x=$\frac{8}{3}$．
綜上所述：當(dāng)PB的長是$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$時，△PAD是直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．