Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上以5cm/s的速度從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，將△APD繞PD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△A'DP．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)．

(1)求點(diǎn)A'落在邊BC上時(shí)x的值．

(2)設(shè)△A'DP和△ABC重疊部分圖形周長(zhǎng)為y(cm)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

(3)如圖②，另有一動(dòng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，在線段BC上以5cm/s的速度從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，將△BQE繞QE的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△B'EQ．連結(jié)A′B′．當(dāng)直線A'B'與△ABC的邊垂直或平行時(shí)，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】(1)x=；(2)y=12x(0＜x≤)，y=-x+12(＜x≤)；(3)x=或或或.

【解析】

(1)利用銳角三角函數(shù)的意義直接求出；

(2)由(1)計(jì)算可得，分兩種情況用銳角三角函數(shù)的意義求解：①當(dāng)0＜x≤時(shí)，y=12x，當(dāng)＜x≤時(shí)，y=12-x；

(3)分四種情形畫出圖形分別求解即可解決問(wèn)題．

解：(1)如圖1，

∵∠C=90°，AC=8厘米，BC=6厘米，

∴AB=10(cm)，

∴cosA=，sinA=，tanA=，

設(shè)AP=5x，

∴PA′=AD=APcos∠A=×5x=4x，CP=8-5x，

∴cos∠CPA′=cos∠A===，

∴x=，

(2)①當(dāng)0＜x≤，如圖2，

∴PA′=AD=APcosA=3x，

∴A′D=AP=5x，

∴y=4x+3x+5x=12x，

②當(dāng)＜x≤時(shí)，如圖3

∴PE===，

DF=DB×cosA=8-x，

∴y=3x++8-x+x-6=12-x，

即：當(dāng)0＜x≤時(shí)，y=12x，

當(dāng)＜x≤時(shí)，y=-x+12；

(3)同(1)一樣有，sinB=，cosB=，tanB=，

①當(dāng)A′B′⊥AB時(shí)，如圖6，

∴DH=PA'=AD=4x，HE=B′Q=EB=3x，

∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=10，

∴x=，

∴A′B′=QE-PD=4x-3x=x=．

②當(dāng)A′B′⊥BC時(shí)，如圖7，

∴B′E=5x，DE=10-7x，

∴cosB==，

∴x=．

③當(dāng)A′B′⊥AC時(shí)，如圖8，

DA'=PA=5x，DE=×5x=x，

∴4x+x+3x=10，

∴x=．

④當(dāng)Q，P都到達(dá)C后，如圖9，

∵A′B′∥AB且AB=A′B′=10，

此時(shí)x=s．