Question

如圖，AB=5cm是⊙O的直徑，弦BC=3cm．若動點(diǎn)P以2cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿著B→A的方向運(yùn)動，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s沿著A→C的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s），當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，t=

20

13

或

25

14

．

Answer 1

分析：應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，△APQ為直角三角形，根據(jù)△APQ∽△ABC，可將時(shí)間t求出；當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，△APQ為直角三角形，根據(jù)△APQ∽△ACB，可將時(shí)間t求出．

解答：解：如圖，∵AB是直徑，
∴∠C=90°．
又∵AB=5cm，BC=3cm，
∴根據(jù)勾股定理得到AC=

AB2-BC2

=4cm．
則AP=（5-2t）cm，AQ=t．
∵當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動，
∴0＜t≤2.5．
①如圖1，當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，PQ∥BC，則
△APQ∽△ABC．
故

AQ

AC

=

AP

AB

，即

t

4

=

5-2t

5

，解得t=

20

13

．
②如圖2，當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，△APQ∽△ACB，則

AP

AC

=

AQ

AB

，即

5-2t

4

=

t

5

，
解得t=

25

14

．
綜上所述，當(dāng)t=

20

13

s或t=

25

14

時(shí)，△APQ為直角三角形．
故答案是：

20

13

或

25

14

．

點(diǎn)評：本題考查圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用能力．在求時(shí)間t時(shí)應(yīng)分情況進(jìn)行討論，防止漏解．