Question

【題目】如圖，直線y＝x＋3與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y＝ax2＋bx－3a經(jīng)過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，連接CB并延長交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸MN對(duì)稱．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－2x＋3，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，4）；（2）證明見解析．

【解析】

（1）解：∵y＝x＋3與坐標(biāo)軸分別交與A，B兩點(diǎn)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)（－3，0）、B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）.

∵拋物線y＝ax2＋bx－3a經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，

∴

解得

∴拋物線解析式為：y＝－x2－2x＋3.

∵y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，

∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，4）.

（2）證明：∵B，D關(guān)于MN對(duì)稱，C（－1，4），B（0，3），

∴D（－2，3）.∵B（0，3），A（－3，0），∴OA＝OB.

又∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.

∵B，D關(guān)于MN對(duì)稱，∴BD⊥MN.

又∵M(jìn)N⊥x軸，∴BD∥x軸.

∴∠DBA＝∠BAO＝45°.

∴∠DBO＝∠DBA＋∠ABO＝45°＋45°＝90°.

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，

把B（0，3），C（－1，4）代入得，

解得

∴y＝－x＋3.

當(dāng)y＝0時(shí)，－x＋3＝0，x＝3，∴E（3，0）.

∴OB＝OE，又∵∠BOE＝90°，

∴∠OEB＝∠OBE＝∠BAO＝45°.

∴∠ABE＝180°－∠BAE－∠BEA＝90°.

∴∠ABC＝180°－∠ABE＝90°.

∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°.

∵CM⊥BD，∴∠MCB＝45°.

∵B，D關(guān)于MN對(duì)稱，

∴∠CDM＝∠CBD＝45°，CD∥AB.

又∵AD與BC不平行，∴四邊形ABCD是梯形.

∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是直角梯形.