Question

20．已知，如圖，在△ABC中，E是內(nèi)心，延長(zhǎng)AE交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，弦AD交弦BC于點(diǎn)F．
（1）求證：DE=DB；
（2）若cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，BC=6，則DE=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)心的定義可知∠1=∠4，∠2=∠3，由同弧所對(duì)的圓周角相等可知：∠4=∠5，于是可得到∠1+∠2=∠3+∠5，即∠BED=∠EBD，故此可證得DE=DB；
（2））由cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，從而得到∠BAC=60°，由E是△ABC的內(nèi)心，可知∠BAD=∠CAD=30°，于是可證得∠CBD=∠BCD=30°，從而得到BD=DC，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知：BG=CG=3，最后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得BD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）連接BE．

∵在△ABC中，E是內(nèi)心，
∴∠1=∠4，∠2=∠3．
又∵∠4=∠5，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠3+∠5．
∴∠BED=∠EBD．
∴DE=DB．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G．

∵cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=60°．
∵E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD=30°．
∴∠CBD=∠BCD=30°．
∴BD=DC．
又∵DG⊥BC，
∴BG=CG=3．
∴BD=$\frac{BG}{cos30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是三角形的內(nèi)心、特殊銳角三角函數(shù)值、等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定，證得△BDC為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．