Question

5．已知點(diǎn)A（3，0），B（0，1），以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，且點(diǎn)P（2，a）為平面直角坐標(biāo)系中一動點(diǎn)．
（1）請說明不論當(dāng)a取何值時，△BOP的面積是一個常數(shù)．
（2）要使得△ABC的面積和△ABP的面積相等，求a的值．

Answer 1

分析 （1）不論a取任何實(shí)數(shù)，△BOP都可以以BO=1為底，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離2為高，所以三角形BOP的面積是一個常數(shù)；
（2）△ABC的面積已知，把△ABP的面積用a表示，就可以得到關(guān)于a的方程，解方程可以求出a．

解答 解：（1）如圖，

不論a取任何實(shí)數(shù)，△BOP都可以以BO=1為底，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離1為高，
∴S_△BOP=$\frac{1}{2}×1×2$=1為常數(shù)；
（2）AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{10}$=5，
當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時，a＜0，
∵S_△ABO$\frac{1}{2}×3×1$=$\frac{3}{2}$，S_△APO=-$\frac{3}{2}$a，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=5，
即$\frac{3}{2}-\frac{3}{2}a-1$=5，
解得a=-3，
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，同理可得a=7，
綜上所述，a的值為-3或7．

點(diǎn)評 此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是探討變化三角形的面積，結(jié)合了方程的知識，解方程就可以求出a．