Question

13．已知：矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中點(diǎn)，M為CD上的一點(diǎn)，PE⊥EM交CB于點(diǎn)P，EN平分∠PEM交BC于點(diǎn)N．
（1）通過(guò)觀察或測(cè)量BP與CM的長(zhǎng)度，你能得到什么結(jié)論，不必證明；
（2）求證：BP²+CN²=PN²；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EN于點(diǎn)G，判斷點(diǎn)G與△EDM的外接圓的位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知利用刻度尺度量即可得出答案；
（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出△BEP≌△CEM（ASA），進(jìn)而得出△EPN≌△EMN（SAS），即可得出答案；
（3）首先判斷出P、G、M三點(diǎn)共線，且G為PM的中點(diǎn)，然后利用直角三角形的性質(zhì)得出GK=DK=EK=MK，即可得出答案．

解答 解：（1）結(jié)論：BP=CM；

（2）證明：如圖1，連接BE、CE，
∵四邊形ABCD為矩形，AD=2AB，E為AD中點(diǎn)，
∴∠A=∠ABC=90°，AB=CD=AE=DE，
∴∠AEB=45°，∠DEC=45°，
在△ABE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠AEB=∠DEC}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），∠BEC=90°，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴∠EBC=∠ECD，
又∵∠BEC=∠PEM=90°，
∴∠BEP=∠MEC，
在△BEP和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBP=∠ECM}\\{BE=CE}\\{∠BEP=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△BEP≌△CEM（ASA），
∴BP=MC，PE=ME，
∵EN平分∠PEM，
∴∠PEN=∠MEN=$\frac{1}{2}$=45°，
在△EPN和△EMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=ME}\\{∠PEN=∠MEN}\\{NE=NE}\end{array}\right.$，
∴△EPN≌△EMN（SAS），
∴PN=MN，
在Rt△MNC中有：MC²+NC²=MN²，
∴BP²+NC²=PN²．

（3）點(diǎn)G在△EDM的外接圓上，
理由：如圖2，連接BE、CE、PM，
由（2），可得
PN=MN，PE=ME，
∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，
∴P、G、M三點(diǎn)共線，且G為PM的中點(diǎn)，
∵K為EM中點(diǎn)，
∴GK=$\frac{1}{2}$ME，
又∵∠ADC=90°，
∴DK=$\frac{1}{2}$ME，
∴GK=DK=EK=MK，
∴點(diǎn)G在以K為圓心，DK為半徑的圓上，即點(diǎn)G在△EDM的外接圓上．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出△EPN≌△EMN進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出結(jié)論是解題關(guān)鍵．