Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，OA=OB=OC=8，過點A的直線AD交BC于點D，交y軸與點G，△ABD的面積為△ABC面積的$\frac{1}{4}$．
（1）求點D的坐標；
（2）過點C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足為E．求證：OF=OG；
（3）若點F的坐標為（$\frac{8}{7}$，0），在第一象限內(nèi)是否存在點P，使△CFP是以CF為腰長的等腰直角三角形？若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點D作DH⊥AB．利用面積法求得：DH=2，設(shè)直線CB的解析式為y=kx+b，將點B、C的坐標代入可求得直線BC的解析式為y=-x+8，將y=2代入得；-x+8=2，解得x=6．從而得到點D的坐標為（6，2）；
（2）證明∠AOG=∠CEG，∠GAO=∠OCF，從而可得到Rt△AGO≌Rt△CFO，故此可得到OG=OF；
（3）如圖2所示，過點P作PH⊥y軸，垂足為H．依據(jù)AAS證明Rt△HPC≌Rt△OFC，于是得到HC=OF=$\frac{8}{7}$，PH=OC=8，從而可求得點P的坐標為（8，9$\frac{1}{7}$）；如圖3所示：過點P作PH⊥x軸，垂足為H．依據(jù)AAS證明Rt△HPF≌Rt△OFC，于是得到OC=FH=8，PH=OF=$\frac{8}{7}$，從而求得點P的坐標為（9$\frac{1}{7}$，$\frac{8}{7}$）．

解答 解：（1）如圖1，過點D作DH⊥AB．

∵$\frac{1}{2}AB•OC=\frac{1}{2}AB•DH$，
∴$\frac{1}{2}×16×8=\frac{1}{2}×16×DH$．
∴DH=2．
設(shè)直線CB的解析式為y=kx+b，將點B、C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=8．
∴直線BC的解析式為y=-x+8．
將y=2代入得；-x+8=2．
解得x=6．
∴點D的坐標為（6，2）．
（2）∵CE⊥AD，CO⊥AO，
∴∠AOG=∠CEG．
又∵∠AGO=∠CGO，
∴∠GAO=∠OCF．
在Rt△AGO和Rt△CFO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOG=∠COF}\\{AO=CO}\\{∠OAG=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGO≌Rt△CFO．
∴OG=OF．
（3）如圖2，過點P作PH⊥y軸，垂足為H．

∵△PCF為等腰直角三角形，
∴PC=CF，∠PCF=90°．
∴∠HCP+∠FCO=90°．
又∵∠OCF+∠OFC=90°，
∴∠HCP=∠COF．
在Rt△HPC和Rt△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PHC=∠COF}\\{∠HCP=∠OFC}\\{PC=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△HPC≌Rt△OFC．
∴HC=OF=$\frac{8}{7}$，PH=OC=8．
∴點P的縱坐標=8+$\frac{8}{7}$=$9\frac{1}{7}$．
∴點P的坐標為（8，9$\frac{1}{7}$）．
如圖3所示：過點P作PH⊥x軸，垂足為H．

∵△PCF為等腰直角三角形，
∴PC=CF，∠CFP=90°．
∴∠PFH+∠OFC=90°．
又∵∠HFP+∠FPH=90°，
∴∠OHC=∠FPH．
在Rt△HPF和Rt△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OHC=∠FPH}\\{∠PHF=∠FOC}\\{CF=FP}\end{array}\right.$，
∴Rt△HPF≌Rt△OFC．
∴OC=FH=8，PH=OF=$\frac{8}{7}$．
∴點P的橫坐標=8+$\frac{8}{7}$=9$\frac{1}{7}$．
∴點P的坐標為（9$\frac{1}{7}$，$\frac{8}{7}$）．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．