Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax²+bx-4（a≠0）的圖象與x軸交于A（-2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）分類討論：當(dāng)CD=DE時(shí)，當(dāng)EC=DE時(shí)，當(dāng)CD=CE時(shí)，根據(jù)等腰三角形的定義，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx-4（a≠0）的圖象與x軸交于A（-2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{64a+8b-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴該二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；
（2）在線段BC上是存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形，
由二次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4可知對(duì)稱軸x=3，
∴D（3，0）．
∵C（8，0），
∴CD=5．
由二次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4可知B（0，-4）．
設(shè)BC的解析式為y=kx+b，
將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-4．
E在線段BC上，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m-4）．
①當(dāng)CD=DE時(shí)，即（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=25，解得m₁=0，m₂=8（不符合題意舍去），
當(dāng)m=0時(shí)，$\frac{1}{2}$m-4=-4，
∴E₁（0，-4）；
②當(dāng)EC=DE時(shí)，（m-8）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²，解得m₃=$\frac{11}{2}$，
當(dāng)m=$\frac{11}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2}$m-4=$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{2}$-4=-$\frac{5}{4}$，
∴E₂（$\frac{11}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；
 ③當(dāng)CD=CE時(shí)，（m-8）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=25，解得m₄=8+2$\sqrt{5}$，m₅=8-2$\sqrt{5}$（不符合題意舍），
當(dāng)m=8+2$\sqrt{5}$時(shí)，$\frac{1}{2}$m-4=$\sqrt{5}$，即E₃（8+2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）；
綜上所述：所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為E₁（0，-4）； E₂（$\frac{11}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；E₃（8+2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用等腰三角形的定義得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．