Question

如圖，已知∠AOB=30°，點P在∠AOB的內部，OP=6．
（1）作出點P關于OB的對稱點P₁，關于OA的對稱點P₂，并求△P₁OP₂的周長；
（2）若點M為OA上一動點，點N為OB上一動點，求△PMN的最小周長．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質，結合等邊三角形的判定求解；
（2）設點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，當點M、N在CD上時，△PMN的周長最�。�

解答：解：（1）∵P為∠AOB內部一點，點P關于OA、OB的對稱點分別為P₁、P₂，
∴OP=OP₁=OP₂=6，且∠P₁OP₂=2∠AOB=60°，
∴故△OP₁P₂是等邊三角形．
∴△P₁OP₂的周長=3×6=18；
（2）分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．
∵點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵點P關于OB的對稱點為D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD=6．
∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CD=6．

點評：此題考查了軸對稱的性質，同時考查軸對稱--最短路線問題，并綜合運用了等邊三角形的知識．注意掌握對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．