Question

【題目】如圖，已知⊙C過(guò)菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B，A，D，連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BD交射線CB于點(diǎn)E．

（1）求證：AE是⊙C的切線．

（2）若半徑為2，求圖中線段AE、線段BE和圍成的部分的面積．

（3）在（2）的條件下，在⊙C上取點(diǎn)F，連結(jié)AF，使∠DAF＝15°，求點(diǎn)F到直線AD的距離．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2﹣π；（3）距離為2﹣或﹣1

【解析】

（1）連接AC．證明AE⊥AC即可解決問(wèn)題；

（2）證明△ABC是等邊三角形，推出∠ACB＝60°，AE＝ACtan60°＝，根據(jù)S陰＝S△AEC﹣S扇形ACB求解即可；

（3）分兩種情形：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在上時(shí)．②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F在優(yōu)弧上時(shí)，分別求解即可．

（1）證明：如圖1中，連結(jié)AC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

又∵BD∥AE，

∴AC⊥AE，

∴AE是⊙O的切線；

（2）如圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

又∵AC＝BC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵AC＝2，

∴AE＝ACtan60°＝，

∴S陰＝S△AEC﹣S扇形ACB＝×2×﹣＝2﹣π；

（3）①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在上時(shí)，

∵∠DAF＝15°，

∴∠DCF＝30°，

∵∠ACD＝60°，

∴∠ACF＝∠FCD，

∴點(diǎn)F是弧AD的中點(diǎn)，

∴CF⊥AD，

∴點(diǎn)F到直線AD的距離＝CF﹣CAcos30°＝2﹣；

②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F在優(yōu)弧上時(shí)，

∵∠DAF＝15°，

∴∠DCF＝30°，

過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于D，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CG于H，

可得∠AFH＝15°，∠HFC＝30°，

∴CH＝1，

∴點(diǎn)F到直線AD的距離＝CG﹣CH＝ACcos30°﹣CH＝﹣1，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F到直線AD的距離為2﹣或﹣1．