Question

【題目】如圖所示，拋物線交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C，直線經(jīng)過點(diǎn)A、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為直線AC上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）在軸上存在點(diǎn)M，且，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；（3）或．

【解析】

（1）分別求得函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，確定A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

（2）先求得拋物線與x軸交點(diǎn)，確定AB的長，然后分四邊形ABPQ，四邊形APBQ為正方形兩種情況，結(jié)合正方形的性質(zhì)求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）分點(diǎn)M在點(diǎn)A的右側(cè)和點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，根據(jù)題意及等腰三角形的性質(zhì)求得∠MCO=30°或60°，從而利用三角函數(shù)求解．

解：（1）對于

令，則，解之得：

令，則

∴

把分別代入得

解之得

∴拋物線的解析式為

（2）存在，理由如下

令，解之得：

∴

∴

分為兩種情況：

①當(dāng)四邊形ABPQ為正方形時(shí)，如圖1所示

對于，當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)P在直線上

∵軸

∴

②當(dāng)四邊形APBQ為正方形時(shí)，如圖2所示

連結(jié)PQ，則

∴

∴

對于，當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)P在直線上

易知點(diǎn)P、Q關(guān)于軸對稱

∴

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或

（3）或

①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，如圖3所示

∵

∴

∴△AOC為等腰直角三角形

∴

∴

∴

在Rt△COM中

∵

∴

∴

②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4所示

在Rt△COM中

∵

∴

∴

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．