Question

【題目】如圖，已知，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線y=kx+k與該拋物線交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該拋物線上不與A，B重合的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交直線AC于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若k=-1，當(dāng)PE=2DE時，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）當(dāng)（2）中直線PD為x=1時，是否存在實(shí)數(shù)k，使△ADE與△PCE相似？若存在請求出k的值；若不存在，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，6）或（1，﹣6）；（3）存在，當(dāng)k=-2或-1時，△ADE與△PCE相似

【解析】

（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式y=x2+bx+c，利用待定系數(shù)法求解.

（2）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，則可以表示出E、D的坐標(biāo)，從而表示出PE和ED的長，由條件可得到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）∠AED=∠PEC,要使△ADE與△PCE相似，必有∠EPC=∠ADE=90°或∠ECP=∠ADE=90°，從而進(jìn)行分類討論求解.

（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=x2-3x-4；

（2）當(dāng)k=-1時，直線AC的解析式為y=-x-1．

設(shè)P（x，x2-3x-4），則E（x，-x-1），D（x，0），

則PE=|x2-3x-4-（-x-1）|=|x2-2x-3|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|x2-2x-3|=2|x+1|，

當(dāng)x2-2x-3=2（x+1）時，解得x=-1或x=5，但當(dāng)x=-1時，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（5，6）；

當(dāng)x2-2x-3=-2（x+1）時，解得x=-1或x=1，

但當(dāng)x=-1時，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（1，-6）；

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，6）或（1，﹣6）；

（3）存在．

∵∠AED=∠PEC，∴要使△ADE與△PCE相似，

必有∠EPC=∠ADE=90°或∠ECP=∠ADE=90°，

①當(dāng)∠EPC=∠ADE=90°時，如圖，軸，

∵P（1，﹣6），根據(jù)對稱性可得C（2，﹣6），

將C（2，﹣6）代入AC解析式中，得2k+k=-6，解得，k=-2，

②當(dāng)∠ECP=∠ADE=90°時，如圖，過C點(diǎn)作CF⊥PD于點(diǎn)F，

則有∠FCP=∠PEC=∠AED，

則△PCF∽△AED，

∴，

易得E（1，2k），∴DE=-2k，

由得．

∴C(k+4，k2+5k)，∴F（1，k2+5k)，

∴CF=k+3，FP=k2+5k+6，

∴ ，解得，k1=k2=-1，k3=-3（此時C與P重合，舍去）

綜上，當(dāng)k=-2或-1時，△ADE與△PCE相似．