Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2，0)，B(3，0)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且OC＝OB．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在y軸負(fù)半軸上存在一點(diǎn)D，使∠CBD＝∠ADC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D′，將拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c向下平移h個(gè)單位，與線(xiàn)段DD′只有一個(gè)交點(diǎn)，直接寫(xiě)出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）D(0，﹣6)；（3）3≤h≤15

【解析】

（1）OC＝OB，則點(diǎn)C（0，﹣3），拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），﹣6a＝﹣3，解得：a＝，即可求解；

（2）CH＝HD＝m，tan∠ADC＝＝tan∠DBC＝，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），即可求解；

（3）過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線(xiàn)交DH的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D′，則D′（﹣3，﹣3）；當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段DD′有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，h＝3；當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D′時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段DD′有一個(gè)公共點(diǎn)，即可求解．

解：（1）OC＝OB，則點(diǎn)C（0，﹣3），

拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），

﹣6a＝﹣3，解得：a＝，

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣3；

（2）設(shè)CD＝m，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，則CH＝HD＝m，

tan∠ADC＝＝tan∠DBC＝，

解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），

故點(diǎn)D（0，﹣6）；

（3）過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線(xiàn)交DH的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D′，則D′（﹣3，﹣3）；

平移后拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣3﹣h，

當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段DD′有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，h＝3；

當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D′時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段DD′有一個(gè)公共點(diǎn)，

即﹣3＝×9+﹣h，解得：h＝15，

故3≤h≤15．