Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（a，0），B（0，b），且a、b滿足（a﹣2）2+=0．

（1）求直線AB的解析式；

（2）若點M為直線y=mx上一點，且△ABM是等腰直角三角形，求m值；

（3）過A點的直線y=kx﹣2k交y軸于負半軸于P，N點的橫坐標為﹣1，過N點的直線y=x﹣交AP于點M，試證明的值為定值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x+4；（2）m的值是或或1．（3）=2．

【解析】

試題分析：（1）求出a、b的值得到A、B的坐標，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程組，求出即可；

（2）當BM⊥BA，且BM=BA時，過M作MN⊥y軸于N，證△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐標即可；②當AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥x軸于N，同法求出M的坐標；③當AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN⊥x軸于N，MH⊥y軸于H，證△BHM≌△AMN，求出M的坐標即可．

（3）設(shè)NM與x軸的交點為H，分別過M、H作x軸的垂線垂足為G，HD交MP于D點，求出H、G的坐標，證△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．

解：（1）∵（a﹣2）2+=0，

∴a=2，b=4，

∴A（2，0），B（0，4），

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，

代入得：，

解得：k=﹣2，b=4，

則函數(shù)解析式為：y=﹣2x+4；

（2）如圖2，分三種情況：

①如圖1，當BM⊥BA，且BM=BA時，過M作MN⊥y軸于N，

∵BM⊥BA，MN⊥y軸，OB⊥OA，

∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，

∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，

∴∠ABO=∠NMB，

在△BMN和△ABO中，

，

∴△BMN≌△ABO（AAS），

MN=OB=4，BN=OA=2，

∴ON=2+4=6，

∴M的坐標為（4，6），

代入y=mx得：m=，

②如圖2，

當AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥x軸于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐標為（6，2），m=，

③如圖4，

當AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN⊥X軸于N，MH⊥Y軸于H，則△BHM≌△AMN，

∴MN=MH，

設(shè)M（x，x）代入y=mx得：x=mx，

∴m=1，

答：m的值是或或1．

（3）解：如圖3，結(jié)論2是正確的且定值為2，

設(shè)NM與x軸的交點為H，過M作MG⊥x軸于G，過H作HD⊥x軸，HD交MP于D點，連接ND，

由y=與x軸交于H點，

∴H（1，0），

由y=與y=kx﹣2k交于M點，

∴M（3，k），

而A（2，0），

∴A為HG的中點，

∴△AMG≌△ADH（ASA），

又因為N點的橫坐標為﹣1，且在y=上，

∴可得N 的縱坐標為﹣k，同理P的縱坐標為﹣2k，

∴ND平行于x軸且N、D的橫坐標分別為﹣1、1

∴N與D關(guān)于y軸對稱，

∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，

∴PN=PD=AD=AM，

∴=2．