Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣a+b（a，b為常數(shù)，且α≠0）．

（1）當(dāng)a＝﹣1，b＝1時(shí)，求頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證：無(wú)論a，b取任意實(shí)數(shù)，此拋物線(xiàn)必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；

（3）若a＜0，當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在最低位置時(shí)：

①求a與b滿(mǎn)足的關(guān)系式；

②拋物線(xiàn)上有兩點(diǎn)（2，s），（m，t），當(dāng)s＜t時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（2）證明見(jiàn)解析，（﹣1，0）；（3）①b＝2a；②﹣4＜m＜2

【解析】

（1）代入a與b的值，確定函數(shù)解析式即可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將表達(dá)式因式分解，可得到當(dāng)x=-1時(shí)，y=0時(shí)是函數(shù)過(guò)的頂點(diǎn)；

（3）由拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在最低位置時(shí)即是頂點(diǎn)是（-1，0）時(shí)，可求a、b關(guān)系；結(jié)合函數(shù)圖象即可求m的范圍．

（1）當(dāng)a＝﹣1，b＝1時(shí)，

∴y＝﹣x2+x+2=，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；

（2）y＝ax2+bx﹣a+b＝（ax2﹣a）+（bx+b）＝a（x+1）（x﹣1）+b（x+1）＝（x+1）（ax﹣a+b），

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，

所以?huà)佄锞�(xiàn)必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（﹣1，0）；

（3）①∵拋物線(xiàn)必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（﹣1，0），

∴當(dāng)a＜0，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在最低位置時(shí)，即（﹣1，0）是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，

此時(shí)﹣＝﹣1，

∴b＝2a；

②當(dāng)兩點(diǎn)（2，s），（m，t），在x＝﹣1右側(cè)時(shí)：

∵s＜t，

∴﹣1＜m＜2，

當(dāng)（m，t），在x＝﹣1左側(cè)時(shí)：

∵s＜t，

∴﹣4＜m＜﹣1，

綜上所述，﹣4＜m＜2時(shí)，s＜t．