【題目】已知:ABO的直徑,弦CDAO,垂足為點(diǎn)E,連接AD,點(diǎn)NAD上一點(diǎn),連接CNAE于點(diǎn)F,延長(zhǎng)CNO與點(diǎn)M,連接AM,MD

(1)如圖1,求證:∠AMC=∠MCD+ADM;

(2)如圖2,連接BC,過(guò)點(diǎn)AAGADO與點(diǎn)G,求證:AGBC

(3)如圖3,在(2)的條件下,ANND,延長(zhǎng)CM至點(diǎn)K,MK2MN6,FE3,連接KAGC,并延長(zhǎng)KA,GC交于點(diǎn)H,求HG的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)HG

【解析】

1)連接AC,AB為⊙O的直徑,弦CDAO,得,∠ADC=ACM+MCD,再由同弧所對(duì)的圓周角相等即可得證;

2)根據(jù)等角的余角相等可得:∠ABC=BAG,再根據(jù)同圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等可得:,易證結(jié)論;

3)過(guò)點(diǎn)DDRAECKR,易證:ANF≌△DNRASA),得到:AF=DR=6,再過(guò)點(diǎn)AATDMCM于點(diǎn)T,求得TA=TM=MD=MK=6,過(guò)點(diǎn)OOWMD,連接OMOD,OC,可求得FE=OE=3,OC=CF=OA=12AK=AD=6,過(guò)點(diǎn)NNLAK于點(diǎn)L,設(shè)AL=a,通過(guò)構(gòu)建方程求a,可求得:sinHAG=sinLNA=,最后過(guò)點(diǎn)HHQAG于點(diǎn)Q,設(shè)HA=8b,HQ=7b,構(gòu)建方程即可得解.

(1)證明:如圖1,連接AC

AB為⊙O的直徑,弦CDAO

∴∠ADC=∠ACD,即∠ADC=∠ACM+MCD

,

∴∠ACM=∠ADM,∠ADC=∠AMC

∴∠AMC=∠ADM+MCD

(2)證明:∵CDAO

∴∠AED90°

∴∠BAD+ADC90°

∵∠ADC=∠ABC

∴∠BAD+ABC90°

∵∠BAD+BAG90°

∴∠ABC=∠BAG

,即:

AGBC

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)DDRAECKR

AB為直徑,CDAO

CEDE

CFFR

DR2EF2×36

DRAE

∴∠FAN=∠RDN

ANND,∠ANF=∠DNR

∴△ANF≌△DNR(ASA)

AFDR6

過(guò)點(diǎn)AATDMCM于點(diǎn)T,∴∠TAN=∠MDN,

ANND,∠ANT=∠DNM

∴△ANT≌△DNM(ASA)

TAMD,TNMN

2MNMK

2TN2MNTMMK6

∴∠MAD=∠MCD

∵∠AMC=∠ADM+MCD

∴∠AMC=∠TAN+MAD=∠TAM

TATMMDMK6

過(guò)點(diǎn)OOWMD,連接OMOD,OC,∵OMOD

MWDWMD3,∠MOW=∠DOWMOD

FEMW3

2DCM=∠MOD

∴∠MCD=∠MOW=∠DOW

∵∠FEC=∠MWO90°

∴△FEC≌△MWO(AAS)

OMCFOC

FEOE3OCCFOA3+3+612

RtCEF中,,

RtAED中,

RtBCE中,

∵∠AMD180°﹣∠MDA﹣∠MAD180°﹣∠AMC=∠AMK,AMAM,MDMK

∴△AMD≌△AMK(SAS)

AKAD6

過(guò)點(diǎn)NNLAK于點(diǎn)L,則∠ALN90°,設(shè)ALa,LK6a

ANNDAD3,NK3+69NL2AN2AL2NK2KL2,

,解得:,

∵∠GAD90°,∠LAN+LNA90°=∠LAN+HAG

∴∠HAG=∠LNA

,

過(guò)點(diǎn)HHQAG于點(diǎn)Q

設(shè)HA8b,HQ7b,則,

AGBC6,

QG6b

∵∠AGC=∠ABC

tanAGCtanABC

,解得:b,

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女生(人數(shù))

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7

9

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m

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2

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