【題目】已知:AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AO,垂足為點(diǎn)E,連接AD,點(diǎn)N是AD上一點(diǎn),連接CN交AE于點(diǎn)F,延長(zhǎng)CN交⊙O與點(diǎn)M,連接AM,MD.
(1)如圖1,求證:∠AMC=∠MCD+∠ADM;
(2)如圖2,連接BC,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AD交⊙O與點(diǎn)G,求證:AG=BC;
(3)如圖3,在(2)的條件下,AN=ND,延長(zhǎng)CM至點(diǎn)K,MK=2MN=6,FE=3,連接KA,GC,并延長(zhǎng)KA,GC交于點(diǎn)H,求HG的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)HG=.
【解析】
(1)連接AC,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AO,得,∠ADC=∠ACM+∠MCD,再由同弧所對(duì)的圓周角相等即可得證;
(2)根據(jù)等角的余角相等可得:∠ABC=∠BAG,再根據(jù)同圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等可得:,易證結(jié)論;
(3)過(guò)點(diǎn)D作DR∥AE交CK于R,易證:△ANF≌△DNR(ASA),得到:AF=DR=6,再過(guò)點(diǎn)A作AT∥DM交CM于點(diǎn)T,求得TA=TM=MD=MK=6,過(guò)點(diǎn)O作OW⊥MD,連接OM,OD,OC,可求得FE=OE=3,OC=CF=OA=12,AK=AD=6,過(guò)點(diǎn)N作NL⊥AK于點(diǎn)L,設(shè)AL=a,通過(guò)構(gòu)建方程求a,可求得:sin∠HAG=sin∠LNA=,最后過(guò)點(diǎn)H作HQ⊥AG于點(diǎn)Q,設(shè)HA=8b,HQ=7b,構(gòu)建方程即可得解.
(1)證明:如圖1,連接AC,
∵AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AO
∴
∴∠ADC=∠ACD,即∠ADC=∠ACM+∠MCD
∵,
∴∠ACM=∠ADM,∠ADC=∠AMC
∴∠AMC=∠ADM+∠MCD
(2)證明:∵CD⊥AO
∴∠AED=90°
∴∠BAD+∠ADC=90°
∵∠ADC=∠ABC
∴∠BAD+∠ABC=90°
∵∠BAD+∠BAG=90°
∴∠ABC=∠BAG
∴
∴,即:
∴AG=BC
(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DR∥AE交CK于R,
∴
∵AB為直徑,CD⊥AO
∴CE=DE
∴CF=FR
∴DR=2EF=2×3=6
∵DR∥AE
∴∠FAN=∠RDN
∵AN=ND,∠ANF=∠DNR
∴△ANF≌△DNR(ASA)
∴AF=DR=6
過(guò)點(diǎn)A作AT∥DM交CM于點(diǎn)T,∴∠TAN=∠MDN,
∵AN=ND,∠ANT=∠DNM
∴△ANT≌△DNM(ASA)
∴TA=MD,TN=MN
∵2MN=MK
∴2TN=2MN=TM=MK=6
∵
∴∠MAD=∠MCD
∵∠AMC=∠ADM+∠MCD
∴∠AMC=∠TAN+∠MAD=∠TAM
∴TA=TM=MD=MK=6
過(guò)點(diǎn)O作OW⊥MD,連接OM,OD,OC,∵OM=OD
∴MW=DW=MD=3,∠MOW=∠DOW=∠MOD
∴FE=MW=3
∵
∴2∠DCM=∠MOD
∴∠MCD=∠MOW=∠DOW
∵∠FEC=∠MWO=90°
∴△FEC≌△MWO(AAS)
∴OM=CF=OC
∴FE=OE=3,OC=CF=OA=3+3+6=12
在Rt△CEF中,,
在Rt△AED中,,
在Rt△BCE中,,
∵∠AMD=180°﹣∠MDA﹣∠MAD=180°﹣∠AMC=∠AMK,AM=AM,MD=MK
∴△AMD≌△AMK(SAS)
∴AK=AD=6
過(guò)點(diǎn)N作NL⊥AK于點(diǎn)L,則∠ALN=90°,設(shè)AL=a,LK=6﹣a,
∵AN=ND=AD=3,NK=3+6=9,NL2=AN2﹣AL2=NK2﹣KL2,
∴,解得:,
∵∠GAD=90°,∠LAN+∠LNA=90°=∠LAN+∠HAG
∴∠HAG=∠LNA
∴,
過(guò)點(diǎn)H作HQ⊥AG于點(diǎn)Q,
設(shè)HA=8b,HQ=7b,則,
∵AG=BC=6,
∴QG=6﹣b
∵∠AGC=∠ABC
∴tan∠AGC=tan∠ABC
∴,解得:b=,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示.在山頂上有一座電視塔AB(AB與水平面垂直),小明同學(xué)要測(cè)量電視塔AB的高度,在斜坡MN上取一點(diǎn)C,測(cè)得塔頂A的仰角為15°,小明沿斜坡MN上行300米到點(diǎn)D,在點(diǎn)D恰好平視電視塔頂A(即AD與水平地面平行),若斜坡MN的坡角為30,山高BM為400米,且N、D、C、M、P、B、A在同一平面內(nèi),A、B、M在同一條直線上,請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)幫助小明求出電視塔AB的高度(結(jié)果精確到1米)()
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中考英語(yǔ)聽力測(cè)試期間T需要杜絕考點(diǎn)周圍的噪音.如圖,點(diǎn)A是某市一中考考點(diǎn),在位于考點(diǎn)南偏西15°方向距離500米的C點(diǎn)處有一消防隊(duì).在聽力考試期間,消防隊(duì)突然接到報(bào)警電話,消防車需沿北偏東75°方向的公路CF前往救援.已知消防車的警報(bào)聲傳播半徑為400米,若消防車的警報(bào)聲對(duì)聽力測(cè)試造成影響,則消防車必須改道行駛.試問(wèn):消防車是否需要改道行駛?
說(shuō)明理由.(≈1.732)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在矩形中,,對(duì)角線相交于點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā),沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為,的面積為,與的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示,則邊的長(zhǎng)為( ).
A. 3B. 4C. 5D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,AE⊥BD,垂足為E,點(diǎn)F在線段OD上,∠EAO=∠FCB,AE=EF=4,則AD的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),得到△A1BC1.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí),求∠CC1A1的度數(shù);
(2)如圖2,連接AA1,CC1.若△ABA1的面積為4,求△CBC1的面積;
(3)如圖3,點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn),點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1,求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】初一(1)班針對(duì)“你最喜愛的課外活動(dòng)項(xiàng)目”對(duì)全班學(xué)生進(jìn)行調(diào)查(每名學(xué)生分別選一個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目),并根據(jù)調(diào)查結(jié)果列出統(tǒng)計(jì)表,繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖.
男、女生所選項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
項(xiàng)目 | 男生(人數(shù)) | 女生(人數(shù)) |
機(jī)器人 | 7 | 9 |
3D打印 | m | 4 |
航模 | 2 | 2 |
其他 | 5 | n |
根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題:
(1)m=_____,n=_____;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中機(jī)器人項(xiàng)目所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為_____°;
(3)從選航模項(xiàng)目的4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生參加學(xué)校航模興趣小組訓(xùn)練,請(qǐng)用列舉法(畫樹狀圖或列表)求所選取的2名學(xué)生中恰好有1名男生、1名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,直線MN交⊙O于A,B兩點(diǎn),AC是直徑,AD平分∠CAM交⊙O于D,過(guò)D作DE⊥MN于E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE=6cm,AE=3cm,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,以點(diǎn)B為頂點(diǎn)作∠CBF,使得∠CBF=∠BAC,交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F連接BD、AE,延長(zhǎng)AE交BF于點(diǎn)G,
(1)求證:BF為⊙O的切線;(2)求證:ACBC=BDAG;(3)若BC=2,CD:CF=4:5,求⊙O的半徑.
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