Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA＝PB時(shí)，求出此時(shí)t的值；

（2）若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值；

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）或6；（3）當(dāng)或時(shí)，△BCP為等腰三角形．

【解析】

（1）設(shè)存在點(diǎn)P，使得，此時(shí)，，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在的平分線上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，此時(shí)，，，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；

（3）在中，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)題意得：，當(dāng)P在AC上時(shí)，為等腰三角形，得到，即，求得，當(dāng)P在AB上時(shí)，為等腰三角形，若，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，如圖2，過P作于E，求得，若，即，解得，，如圖3，過C作于F，由射影定理得；，列方程，即可得到結(jié)論．

解：在中，，，

，

（1）設(shè)存在點(diǎn)P，使得，

此時(shí)，，

在中，，

即：，

解得：，

當(dāng)時(shí)，；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在的平分線上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，

此時(shí)，，，

在中，，

即：，

解得：，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，也符合條件，

當(dāng)或6時(shí)，在的角平分線上；

（3）根據(jù)題意得：，

當(dāng)P在AC上時(shí)，為等腰三角形，

，即，

，

當(dāng)P在AB上時(shí)，為等腰三角形，

，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，

如圖2，過P作于E，

，

，即，解得：，

，即，

解得：，

，如圖3，過C作于F，

，

，

由射影定理得；，

即，

解得：，

當(dāng)時(shí)，為等腰三角形．