Question

9．一個圓柱形容器放在水平桌面上，如圖甲所示，容器中立放著一個均勻?qū)嵭膱A柱體M，現(xiàn)慢慢向容器中加水，加入的水對容器底的壓強p_水與所加水的質(zhì)量m的關(guān)系如圖丙所示，容器足夠高，在整個過程中無水溢出，M的底面始終與容器中的水面平行．當加入的水等于3kg時，物體M剛好漂浮且露出水面的高度為4cm，如圖乙所示（已知ρ_水=1.0×10³kg/m³）．求：

（1）求圓柱體M剛好漂浮時容器中水的深度；
（2）求圓柱體M的密度；
（3）當容器中加入足夠多的水后，把正方體放在圓柱體M上，圓柱體剛好浸沒，則該正方體的重力為多少？

Answer 1

分析 （1）圓柱體M剛好漂浮時加入的水等于3kg時，由圖讀出此時的水的壓強，利用p=ρgh求出水的深度；
（2）根據(jù)物體M剛好漂浮且露在水面外的長度和水的深度，即可求出M的高度H，
物體M剛好漂浮時浮力與重力，利用阿基米德原理和密度公式列出等式即可求出M的密度ρ_M；
（3）利用p=ρgh求出此時水的深度，根據(jù)加入的水等于7kg與3kg時壓強的變化和所加水的質(zhì)量m的變化求出圓柱體的底面積．然后可求圓柱體的體積，圓柱體剛好浸沒在水中時，圓柱體重加上正方體重等于圓柱體受到的浮力，據(jù)此求正方體重力．

解答 解：（1）當加入的水m_水=3kg時，p_水=0.6×10³Pa，
由p=ρgh可得，水的深度h=$\frac{{p}_{水}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{0.6×1{0}^{3}Pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.06m=6cm；
（2）由于物體M剛好漂浮且露出水面的高度為4cm，則物體M的高度H=h+h_露=6cm+4cm=10cm；
由漂浮條件可知：F_浮=G，
即：ρ_水V_排g=ρ_物V_物g，
則ρ_水Sh_浸g=ρ_物SHg，
所以ρ_物=$\frac{{h}_{浸}}{H}$ρ_水=$\frac{6cm}{10cm}$×1×10³ kg/m³=0.6×10³kg/m³；
（3）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，
3kg水的體積V_水=$\frac{{m}_{水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{3kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=3×10^-3m³，
圓柱體周圍的水的底面積S_水=$\frac{{V}_{水}}{h}$=$\frac{3×1{0}^{-3}{m}^{3}}{0.06m}$=0.05m²，
由于加入的水等于7kg與3kg時壓強分別為1.0×10³Pa、0.6×10³Pa，
由p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$得：
容器的底面積S=$\frac{△G}{△p}$=$\frac{△mg}{△p}$=$\frac{（7kg-3kg）×10N/kg}{1.0×1{0}^{3}Pa-0.6×1{0}^{3}Pa}$=0.1m²．
圓柱體的底面積S_圓柱體=S-S_水=0.1m²-0.05m²=0.05m²，
則圓柱體的體積V=Sh=0.05m²×0.1m=0.005m³，
F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.005m³=50N
圓柱體M的重力G_M=mg=ρVg=0.6×10³kg/m³×0.005m³×10N/kg=30N，
G_正方體=F_浮-G_M=50N-30N=20N．
答：（1）圓柱體M剛好漂浮時容器中水的深度為6cm；
（2）圓柱體M的密度為0.6×10³kg/m³；
（3）該正方體的重力為20N．

點評 本題考查了學(xué)生對密度公式、液體壓強公式、壓強定義式的掌握和運用，難點根據(jù)水的壓強的增加量和加水的質(zhì)量求出底面積．