Question

13．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為偶數(shù)}\\{n+1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$（n∈N^*），若S₃=b₅+1，且b₄是a₂與a₄的等比中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為偶數(shù)}\\{n+1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$（n∈N^*），可得b₄=4，b₅=6．設(shè)各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，S₃=b₅+1，且b₄是a₂與a₄的等比中項．可得${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=6+1，4²=a₂a₄=${a}_{1}^{2}$q⁴，解得a₁，q．即可得出．
（II）a_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{（n+1）•{2}^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{n•{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，可得數(shù)列{a_n•b_n}的前2n項和T_2n=[2+4×2²+6×2⁴+…+2n•2^2n-2]+（2×2+4×2³+…+2n•2^2n-1）=（2+2×2³+3×2⁵+…+n•2^2n-1）+（4+2×4²+…+n•4ⁿ）．設(shè)A_n=2+2×2³+3×2⁵+…+n•2^2n-1，B_n=4+2×4²+…+n•4ⁿ．利用錯位相減法即可得出．

解答 解：（I）∵數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為偶數(shù)}\\{n+1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$（n∈N^*），∴b₄=4，b₅=6．
設(shè)各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵S₃=b₅+1，且b₄是a₂與a₄的等比中項．
∴${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=6+1，4²=a₂a₄=${a}_{1}^{2}$q⁴，解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（II）a_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{（n+1）•{2}^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{n•{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前2n項和T_2n=[2+4×2²+6×2⁴+…+2n•2^2n-2]+（2×2+4×2³+…+2n•2^2n-1）
=（2+2×2³+3×2⁵+…+n•2^2n-1）+（4+2×4²+…+n•4ⁿ）
設(shè)A_n=2+2×2³+3×2⁵+…+n•2^2n-1，B_n=4+2×4²+…+n•4ⁿ．
則4A_n=2×2²+2×2⁵+…+（n-1）•2^2n-1+n•2²ⁿ⁺¹，
∴-3A_n=2+2³+2⁵+…+2^2n-1-n•2²ⁿ⁺¹=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{4-1}$-n•2²ⁿ⁺¹，
可得A_n=$\frac{2+（3n-1）•{2}^{2n+1}}{9}$；
同理可得：B_n=$\frac{4+（3n-1）•{4}^{n+1}}{9}$；
∴T_2n=$\frac{2+（3n-1）•{2}^{2n+1}}{9}$+$\frac{4+（3n-1）•{4}^{n+1}}{9}$
=$\frac{2+（6n-2）•{4}^{n}}{3}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．