Question

2．如圖，已知在直四棱柱（側(cè)棱垂直底面的棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2
（1）求證：DB⊥平面B₁BCC₁．
（2）求BC₁與平面A₁BD所成的角的余弦值；
（3）求二面角A₁-DB-C₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DB⊥平面B₁BCC₁．
（2）求出平面A₁BD的一個(gè)法向量，利用向量法能示出BC₁與平面A₁BD所成的角的余弦值．
（3）求出平面A₁BD的一個(gè)法向量和平面C₁BD的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角A₁-DB-C₁的正弦值．

解答 證明：（1）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），B（1，0，0），C₁（0，2，2），C（0，2，0），
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），
$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{BC}$=-1+1+0=0，∴BD⊥BC，
$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{B{B}_{1}}$=0，∴BD⊥BB₁，
∵BB₁∩BC=B，
∴DB⊥平面B₁BCC₁．
解：（2）設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面A₁BD的一個(gè)法向量，
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，2，1），
又$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，1，2），設(shè)BC₁與平面A₁BD所面A₁BD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴BC₁與平面A₁BD所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（3）由（2）知平面A₁BD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（-2，2，1），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面C₁BD的一個(gè)法向量，
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-x+y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=-1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
設(shè)二面角A₁-DB-C₁的平面角為θ，
則|cosθ|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角A₁-DB-C₁的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的證明，考查線(xiàn)面角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．