Question

4．已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a^xg（x）（a＞0，且a≠1），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，若數(shù)列 {$\frac{f（n）}{g（n）}$}的前n項和大于62，則n的最小值（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 令h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，由題意可知a＞1，求出a=2，由此可知S_n的表達式，前n項和大于62，求出n的最小值．

解答 解：令h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，
則h′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＞0，
故h（x）=a^x單調(diào)遞增，
所以a＞1，
 又$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$．
解得a=2，
則$\frac{f（n）}{g（n）}$=2ⁿ，
其前n項和S_n=2ⁿ-2，
由2ⁿ-2＞62，
得n＞6．
故選：C．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等比數(shù)列的前n和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．