Question

9．已知正數a，b滿足a+b=4，則曲線f（x）=lnx+$\frac{x}$在點（a，f（a））處的切線的傾斜角的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{π}{4}$，+∞）
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$）
• C． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）
• D． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 求導數，確定切線斜率的范圍，即可求出切線的傾斜角的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=lnx+$\frac{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}$，
∴f′（a）=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{a}$+$\frac{a}$）≥$\frac{1}{4}$（2+2）=1，
當且僅當a=b=2時取等號，∴曲線f（x）=lnx+$\frac{x}$在點（a，f（a））處的切線的傾斜角的取值范圍為[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
故選C．

點評 本題考查導數的幾何意義，考查切線的傾斜角的取值范圍，正確求導是關鍵．