Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．
（1）若a=-1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為$\sqrt{17}$，求a．

Answer 1

分析 （1）將曲線C的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，直線l的參數(shù)方程化為一般方程，聯(lián)立兩方程可以求得焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）曲線C上的點(diǎn)可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式可以表示出P到直線l的距離，再結(jié)合距離最大值為$\sqrt{17}$進(jìn)行分析，可以求出a的值．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)方程是：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
a=-1時(shí)，直線l的參數(shù)方程化為一般方程是：x+4y-3=0；
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{x+4y-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{21}{25}}\\{y=\frac{24}{25}}\end{array}\right.$，
所以橢圓C和直線l的交點(diǎn)為（3，0）和（-$\frac{21}{25}$，$\frac{24}{25}$）．
（2）l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為一般方程是：x+4y-a-4=0，
橢圓C上的任一點(diǎn)P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以點(diǎn)P到直線l的距離d為：
d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-a-4|}{\sqrt{17}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-a-4|}{\sqrt{17}}$，φ滿足tanφ=$\frac{3}{4}$，且的d的最大值為$\sqrt{17}$．
①當(dāng)-a-4≤0時(shí)，即a≥-4時(shí)，
|5sin（θ+4）-a-4|≤|-5-a-4|=5+a+4=17
解得a=8≥-4，符合題意．
②當(dāng)-a-4＞0時(shí)，即a＜-4時(shí)
|5sin（θ+4）-a-4|≤|5-a-4|=5-a-4=1-a=17
解得a=-16＜-4，符合題意．

點(diǎn)評 本題主要考查曲線的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線距離和三角函數(shù)的最值，難點(diǎn)在于如何根據(jù)曲線C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值求出a．