Question

1．已知f（x）=ax-$\frac{1}{x}$，g（x）=lnx，x＞0，a∈R是常數(shù)
（Ⅰ）求曲線y=g（x）在點(diǎn)P（1，g（1）處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（1），g′（1）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）∵g（x）=lnx，x＞0，
故g（1）=0，g′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（1）=1，
故切線g（x）在P（1，g（1））處的切線方程是：
y=x-1；
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）-g（x）=ax-$\frac{1}{x}$-lnx，（x＞0），
故F′（x）=a+${（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
①當(dāng)a≥$\frac{1}{4}$時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）遞增，
②當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，F(xiàn)（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
③當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{4}$時(shí)，由F′（x）=0得：
x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2a}$＞0，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2a}$＞0，
故F（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2a}$），（$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2a}$，+∞）遞增，在（$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2a}$，$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2a}$）遞減，
④當(dāng)a＜0時(shí)，由F′（x）=0，得：
x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2a}$＞0，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2a}$＜0，
故F（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2a}$）遞增，在（$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2a}$，+∞）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．