Question

13．已知向量$\vec a$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，則向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 利用數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$2×1×cos\frac{π}{3}$=1．
$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4+2=6．
$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+4×1+4×1}$=2$\sqrt{3}$．
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角為θ．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|}$=$\frac{6}{2×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$夾角θ的取值范圍為[0，π]，
∴$θ=\frac{π}{6}$．
故選：A．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．