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20.已知數(shù)列{an}中,a1=2,a2=3,其前n項和Sn滿足Sn+1+Sn-1=2Sn+1,其中n≥2,n∈N*.
(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求其通項公式;
(2)設bn=an•2-n,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和.
①求Tn的表達式,并判斷Tn的單調性;
②求使Tn>2的n的取值范圍.

分析 (1)把Sn+1+Sn-1=2Sn+1整理為:(sn+1-sn)-(sn-sn-1)=1,即an+1-an=1  即可說明數(shù)列{an}為等差數(shù)列;再結合其首項和公差即可求出{an}的通項公式;
(2)①求得數(shù)列{bn}的通項公式,利用“錯位相減法”即可求得Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,即可判斷Tn的單調性;
②由3-n+32n>2,則n+32n-1<0,構造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調性即可求得n的取值范圍.Tn=3-n+32n

解答 解:(1)證明:由已知:(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=1  (n≥2,n∈N*),
即an+1-an=1  (n≥2,n∈N*)且a2-a1=1.
∴數(shù)列{an}是以a1=2為首項,公差為1的等差數(shù)列.
∴an=n+1.
(2)①由(Ⅰ)知bn=(n+1)•2-n,它的前n項和為Tn
Tn=2•2-1+3•2-2+4•2-3+…+n•2-n+1+(n+1)•2-n,①
12Tn=2•2-2+3•2-3+4•2-4+…+n•2-n+(n+1)•2-(n+1),②
12Tn=1+2-2+2-3+2-4+…+2-n-(n+1)•2-(n+1),②
=32-n+32n+1,
∴Tn=3-n+32n,
設g(x)=3-x+32x,x∈N*.求導,g′(x)=x+3ln212x>0,x∈N*.
g(x)單調遞增,
∴Tn單調遞增;
②由Tn>2,則3-n+32n>2,則n+32n-1<0,設f(n)=n+32n-1,則f(n+1)-f(n)=-n+22n+1<0,
則f(n)在N+上單調遞減,
f(1)=1,f(2)=14>0,f(3)=-14<0,
當n=1,n=2時f(n)>0,f(3)<0,
∴n的取值范圍為n>3,且n∈N*.

點評 本題考查數(shù)列的綜合應用,考查數(shù)列的遞推公式,“錯位相減法”求數(shù)列的前n項和,數(shù)列與函數(shù)單調性的應用,考查計算能力,屬于中檔題.

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