Question

【題目】已知雙曲線：的離心率，其左焦點(diǎn)到此雙曲線漸近線的距離為.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過原點(diǎn)，求圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）由題意可得，解出即可；

（2）由題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程并消元，設(shè)，，可得韋達(dá)定理的結(jié)論，又以為直徑的圓過原點(diǎn)得，代入可求得，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得圓的圓心的縱坐標(biāo)，從而可求出答案．

解：（1）由題意可得，

解得，

∴雙曲線的方程為；

（2）易知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程，可得，

上述方程式的判別式，以及（否則直線不能與雙曲線交兩點(diǎn)），

設(shè)，，則，，

同時(shí)可得，

以為直徑的圓過原點(diǎn)，知，

結(jié)合，可知，，

∴圓的圓心即中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∵拋物線的準(zhǔn)線方程為，

∴圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線距離為或．