Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）設(shè)函數(shù)，，為曲線(xiàn)上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)或時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

（2）

【解析】

（1）函數(shù)求導(dǎo)得的根，對(duì)根進(jìn)行討論得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間從而求得極值.

（2）令，求出.等價(jià)轉(zhuǎn)換得，構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題求解.

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

.

令，得或.

①當(dāng)，即時(shí)，

在和上，，在上，，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，故有兩個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)，即時(shí)，

在和上，，在上，，同上可知有兩個(gè)極值點(diǎn)；

③當(dāng)，即時(shí)，

，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；

④當(dāng)，即時(shí)，

在上，，在上，，當(dāng)時(shí)，取得極小值，無(wú)極大值，故只有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)或時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

（2）令，則，設(shè)，，，則.

不妨設(shè)，則由恒成立，可得恒成立.

令，則在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即恒成立.

則恒成立，即恒成立.

又，所以恒成立，則，

因?yàn)?/span>，所以，

解得，即的取值范圍為.