Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下說(shuō)法中不正確的是（　　）

• A． f（x）周期為2π
• B． f（x）最小值為$-\frac{5}{4}$
• C． f（x）為單調(diào)函數(shù)
• D． f（x）關(guān)于$x=\frac{π}{4}$對(duì)稱(chēng)

Answer 1

分析 由f（x+2π）=f（x），可以判斷f（x）周期為2π，A正確；
設(shè)t=sinx+cosx，得出t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]且sin2x=t²-1，利用換元法求出f（x）的最值判斷B正確；
由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷f（x）不是單調(diào)函數(shù)，C錯(cuò)誤；
證明f（$\frac{π}{2}$-x）=f（x），判斷D正確．

解答 解：對(duì)于A，f（x+2π）=sin[2（x+2π）]+sin（x+2π）+cos（x+2π）
=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函數(shù)周期為2π，A正確；
對(duì)于B，設(shè)t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=（sinx+cosx）²=1+sin2x，
∴sin2x=t²-1，
∴y=sin2x+sinx+cosx=t²-1+t=t²+t-1=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值y_min=-$\frac{5}{4}$，B正確；
對(duì)于C，由二次函數(shù)可知，當(dāng)t∈[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$]時(shí)，函數(shù)y=t²+t-1單調(diào)遞減，
當(dāng)t∈[-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$]時(shí)，函數(shù)y=t²+t-1單調(diào)遞增，∴f（x）不是單調(diào)函數(shù)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，f（$\frac{π}{2}$-x）=sin[2（$\frac{π}{2}$-x）]+sin（$\frac{π}{2}$-x）+cos（$\frac{π}{2}$-x）
=sin（π-2x）+sinx+cosx
=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函數(shù)關(guān)于x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱(chēng)，D正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，周期性質(zhì)問(wèn)題，是綜合題．