Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，PB=PD，平面BDE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：PC⊥平面ABCD；
（Ⅲ） 設(shè)PC=λAB，試判斷平面PAD⊥平面PAB能否成立；若成立，寫出λ的一個(gè)值（只需寫出結(jié)論）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，推導(dǎo)出EO∥PC，由此能證明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）法一：推導(dǎo)出△PAB≌△PAD，EO⊥BD，從而EO⊥平面ABCD，進(jìn)而EO⊥AC，EO⊥BD，由此得到PC⊥AC，PC⊥BD，從而能證明PC⊥平面ABCD．
法二：連接PO，推導(dǎo)出BD⊥AC，PO⊥BD，從而BD⊥平面PAC，進(jìn)而BD⊥OE，由此得到EO⊥平面ABCD，從而EO⊥AC，EO⊥BD，進(jìn)而PC⊥AC，PC⊥BD，由此能證明PC⊥平面ABCD．
（Ⅲ） 由PC=λAB，得到平面PAD⊥平面PAB不能成立．

解答 （本小題9分）
證明：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，
因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，
所以EO是的△PAC中位線，所以EO∥PC，…（1分）
因?yàn)镋O?平面BDE，PC?平面BDE，
所以PC∥平面BDE． …（3分）
（Ⅱ）證法一：在△PAB和△PAD中，
因?yàn)锳B=AD，PB=PD，PA=PA，
所以△PAB≌△PAD，又點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，
所以EB=ED，…（5分）所以EO⊥BD，
因?yàn)槠矫鍮DE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD=BD，EO?平面BDE
所以EO⊥平面ABCD，…（7分）所以EO⊥AC，EO⊥BD，
因?yàn)镋O∥PC，所以PC⊥AC，PC⊥BD，又AC∩BD=O
所以PC⊥平面ABCD．   …（8分）
證法二：連接PO，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，
所以O(shè)是BD的中點(diǎn)，BD⊥AC，又PB=PD，所以PO⊥BD，
又PO∩AC=O，PO?平面PAC，AC?平面PAC
所以BD⊥平面PAC
又OE?平面PAC，所以BD⊥OE，…（5分）
因?yàn)槠矫鍮DE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD=BD，EO?平面BDE
所以EO⊥平面ABCD，…（7分）所以EO⊥AC，EO⊥BD，
因?yàn)镺E∥PC，所以PC⊥AC，PC⊥BD，又AC∩BD=O
所以PC⊥平面ABCD．     …（8分）
（Ⅲ） 不能成立．  …（9分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查兩平面能否垂直的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．